4º. Теорема о сложении ускорений в сложном движении материальной точки

Теорема Кориолиса (о сложении ускорений)

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений, где

. (4.2.15)

Доказательство

Дифференцируя (4.2.12), получим

.

В этих преобразованиях использовали:

• формулу (4.2.8) для переносной скорости точки 

; (4.2.8)

• выражение (4.2.3) для относительной скорости точки 

; (4.2.3)

• применительно к векторам и формулу (4.2.11) дифференцирования вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси

, .

А также применили формулы:

• (4.2.2) для абсолютного ускорения точки 

; (4.2.2)

• (4.2.9) для переносного ускорения

; (4.2.9)

• (4.2.4) для относительного ускорения

; (4.2.4)

• (4.2.15) для кориолисова ускорения

. (4.2.15)

Теорема доказана.

§3. Сложное движение твердого тела

1º. Постановка задачи о сложном движении твердого тела

1.1.Основные задачи кинематики сложного движения твердого тела

Будем говорить, что тело совершает сложное движение, если оно движется в пространстве, которое, в свою очередь, движется, т.е. является подвижным пространством.

Определение 1

Движение твердого тела относительно подвижного пространства и движение подвижного пространства относительно абсолютного называются составляющими сложного движения твердого тела.

Подвижное пространство (в котором движется твердое тело) может совершать движение в другом подвижном пространстве, т.е. в пространстве, движущемся в абсолютном.

Тогда также говорят, что это дополнительное подвижное пространство является составляющим движением сложного движения.

Очевидно, в общем случае можем говорить, что твердое тело совершает сложное движение с составляющими движениями.

Основными задачами кинематики сложного движения является

• задача установления связи между абсолютным движением твердого тела и составляющими движениями,

а также

• задача установления связи между кинематическими характеристиками составляющих движений и абсолютного движения твердого тела.

Будем рассматривать решение указанных задач в случае . Результаты решения задач для легко распространяются на случай .

Прежде чем приступить к решению поставленных задач, введем понятия мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения переносного и относительного движения твердого тела.

1.2. Основные обозначения в кинематике сложного движения твердого тела

Введем следующие обозначения (см. рис. 4.3.1):

Рис.4.3.1

• — абсолютная система координат с полюсом в точке и базисом ;

• — подвижная система координат с полюсом в точке и базисом ;

• — связанная с твердым телом система координат с полюсом в точке и базисом ;

• — матрица ориентации подвижной системы в абсолютном пространстве, иначе, матрица перехода от к  ; , ;

• — матрица ориентации твердого тела в подвижном пространстве , иначе, матрица перехода от к ; , .

Пусть — произвольно выбранная точка твердого тела.

Введем обозначения для следующих векторов:

.

Здесь

• — положение полюса подвижной системы относительно точки отсчета , выбранной в абсолютном пространстве; оно задается абсолютными координатами ;

• — положение полюса связанной с твердым телом системы координат относительно точки отсчета ; задается абсолютными координатами ;

• — положение полюса связанной системы относительно полюса  подвижной системы ; задается координатами в подвижной системе ;

• — положение точки  твердого тела в связанной системе ; задается координатами ;

• — положение точки  твердого тела в подвижном пространстве ; задается координатами ;

• — положение точки  твердого тела относительно точки отсчета в абсолютном пространстве; задается абсолютными координатами .