1. Дополнение к §4 главы 2 (к стр. 31 лекции)

В этом Дополнении описывается пример выбора обобщенных координат, связанных с положениями материальной точки функциями, зависящими от времени явно, хотя на движение точки накладываются голономные склерономные связи.

Пример

Пусть материальная точка движется по поверхности планеты (см. рис. 2.4.1).

меридиан точки P

нулевой меридиан

Рис. 2.4.1

Планета равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью .

Ось планеты сохраняет свое направление неизменным в абсолютном пространстве.

Будем считать, что поверхность планеты имеет форму поверхности вращения, образованной поворотом эллипса вокруг одной из своих осей, причем эта ось совпадает с осью планеты.

Введем абсолютную систему отсчета, связанную со звездами.

За полюс системы примем точку — центр планеты, за ось — ось вращения планеты, за оси и — взаимно ортогональные оси, расположенные в плоскости экватора и выбранные так, чтобы система была правой.

Положение точки  на поверхности планеты будем определять сферическими координатами ,  :

• угол  — долгота точки  ; отсчитывается в экваториальной плоскости от некоторого фиксированного на планете меридиана, называемого нулевым, до меридиана, проходящего через точку  ; угол  называется планетоцентрической долготой точки;

• угол — широта точки  ; отсчитывается в плоскости меридиана точки от плоскости экватора до положения этой точки.

Пусть точка  движется по параллели планеты с фиксированной широтой

.

Тогда для задания движения точки  достаточно определить только одну обобщенную координату.

В качестве обобщенной координаты возьмем планетоцентрическую долготу , т.е. положим

.

При таком введении обобщенной координаты связь положения точки  в абсолютном пространстве с обобщенной координатой будет задаваться формулами:

, , ,

где

,

— радиус планеты на широте ,

— угол между положительным направлением оси и плоскостью нулевого меридиана планеты в момент времени .

Если обозначить — момент времени, в который плоскость нулевого меридиана проходит через положительное направление оси , то можем записать

.

А тогда связь положения точки  с обобщенной координатой  принимает вид

(2.4.11)

В векторном представлении эту связь можем записать в форме (2.4.10)

Хотя в вектор-функцию время входит явно, тем не менее, легко показать, что связи, накладываемые на положение материальной точки, являются стационарными.

Действительно, все положения точки подчинены двум условиям.

Одно из них — это требование, чтобы точка в любой момент времени находилась на заданной поверхности вращения.

Вторым — является требование, чтобы широта точки в любом ее положении оставалась неизменной.

Математически эти два условия в декартовых координатах могут быть записаны в виде следующих равенств:

,

.

Они задают ограничения на координаты положения точки  в любой момент времени .

В них:

— заданная широта,

— известная функция, отражающая зависимость радиуса планеты от широты.

В функциях , время отсутствует, а потому данная механическая система, состоящая из одной материальной точки, является стационарной.

Точка имеет одну степень свободы, и ее движение вполне определено, если задан закон изменения координаты :

.

Таким образом, соотношения (2.4.11)

(2.4.11)

где

,

показывают, что:

с одной стороны, описание движения точки  по параллели с помощью планетоцентрической долготы приводит к нестационарным зависимостям абсолютного положения точки  от этой долготы;

с другой стороны, поскольку голономные связи данной механической системы стационарны, то, согласно доказанному выше следствию 1 из теоремы 1, для данной механической системы должна существовать обобщенная координата  , которая связана с абсолютным положением точки  стационарными зависимостями.

Легко видеть, что такой обобщенной координатой может служить абсолютная долгота меридиана, на котором находится точка  в момент времени .

Под указанной долготой понимается угол между положительным направлением оси и плоскостью меридиана места точки  .

Очевидно, этот угол (обозначим его ) связан с планетоцентрической долготой точки  следующей зависимостью:

.

Формулы связи положения точки  с обобщенной координатой  будут иметь вид

, , ,

где

.

Как видим, в них время не входит явно, в отличие зависимостей от обобщенной координаты по формулам (2.4.11):

(2.4.11)