3.2.2. Понятие обобщенных координат. Теорема существования

Определение 5

Независимые переменные , связанные с положениями механической системы зависимостями , , и обладающие свойствами 1 – 6, называются обобщенными координатами голономной механической системы.

Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема 1

В любой момент времени любое положение механической системы в области  , где определены уравнения геометрических связей (2.4.1), может быть задано с помощью независимых координат , удовлетворяющих условиям 1 – 6.

Доказанная теорема носит название теоремы существования обобщенных координат.

Как видно из приведенного выше доказательства теоремы, оно основано на том, что в качестве таких переменных , с помощью которых может быть задано любое положение механической системы, берут ее последних декартовых координат.

А далее устанавливается, что данные координаты в любых положениях обладают свойствами 1 – 6.

Однако, как показывает практика, свойствами 1 – 6 могут обладать и другие переменные , выбранные из каких-либо геометрических, физических, механических, математических соображений.

Важно лишь то, чтобы при любом выборе переменных  в качестве обобщенных координат функции, задающие связь их с положениями механической системы, обладали бы свойствами 1 – 6, описанными выше.

3.2.3. Понятие карты ввода обобщенных координат

Иногда не удается подобрать обобщенные координаты  , для которых условия 1 – 6 выполнялись бы во всей области  .

В этих ситуациях вводят координаты так, чтобы указанные условия были справедливы в некоторой области  , содержащейся в  . Затем подбирают другие обобщенные координаты для дополнения множества  до  .

Если не удается подобрать координаты для всего дополнения, то подбирают  для какой-либо части этого дополнения. Затем подбирают их для оставшейся области, и т.д.

Так продолжают процесс построения  до тех пор, пока не покроется вся исходная область  . Тем самым будет создана так называемая карта ввода обобщенных координат  .

Согласно теореме 1, существуют такие переменные  , для которых справедливы условия 1 – 6 во всей области  .

Ясно, что в части области  , оставшейся непокрытой, ничто не мешает в качестве обобщенных координат  ввести независимых декартовых координат, использованных при доказательстве теоремы.

Поэтому процесс построения карты ввода обобщенных координат  конечен.

3.2.3. Обобщенные координаты стационарных систем

Рассмотрим теперь случай, когда голономные связи — стационарны.

Для таких связей теорему о существовании обобщенных координат можно сформулировать в следующем виде

Следствие 1

Если голономные связи стационарны, то существуют такие обобщенные координаты , что зависимость положений механической системы от этих координат будет иметь вид

, .

Иначе говоря, в правые части соотношений (2.4.10) время не будет входить явно.

Справедливость утверждения следует из доказательства теоремы 1.

В нем надо учесть, что, поскольку уравнения связей (2.4.1)

, , (2.4.1)

а значит и

, ,

не содержат явно время  , то правые части системы (2.4.5)

, ..., (2.4.5)

также не будут содержать в явном виде.

А это значит, что время не войдет явно в функции  системы (2.4.8):

(2.4.8)

и, соответственно, системы (2.4.10):

, . (2.4.10)

Следствие доказано.

Часто обобщенные координаты вводятся без предварительного вывода уравнений связей (2.4.1) прямо по описанию механической системы и условий, в которых осуществляется ее движение.

В таких ситуациях функциональная зависимость положения механической системы от обобщенных координат строится не из уравнений связи, а исходя из геометрических и физических соображений.

Уместно заметить:

если полученная таким образом зависимость положения от переменных , определяемая соотношениями (2.4.10), будет содержать в явном виде , то этот факт еще не означает, что связи (2.4.1) являются нестационарными.

Построенная по описанному способу явная зависимость функций  от времени  может оказаться результатом неудачного выбора переменных в качестве обобщенных координат.

В Дополнении к §4 главы 2 (см. стр. 32) показан пример такого выбора.