3º. Обобщенные координаты голономных механических систем

3.1. Выбор новых координат

Введем обозначения:

.

Записывая их в векторно-матричной форме, будем иметь

. (2.4.6)

Возьмем переменные в качестве новых координат для задания положения механической системы.

На формулу (2.4.6) будем смотреть как на формулу связи новых координат со старыми:

.

Из нее легко находится зависимость координат от переменных .

Зависимости координат от переменных получим из соотношений (2.4.5)

, ..., . (2.4.5)

Объединяя их с (2.4.6), можем записать

, , (2.4.7)

где — единичная матрица размерности ,

.

Окончательно, в векторном виде система соотношений (2.4.7) запишется так:

. (2.4.8)

Если сопоставить систему (2.4.8) с (2.4.6)

, (2.4.6)

то легко заметить, что соотношения (2.4.6) образуют обратную зависимость переменных от переменных .

Эту зависимость будем записывать в виде

. (2.4.9)

Таким образом, для описания любого положения механической системы вместо его координат ввели новых координат вектора , которые связаны с координатами вектора следующими условиями.

1. Существует вектор-функция , однозначно связывающая переменные и (см. (2.4.8)),

.

2. Функция — однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных и  .

3. Существует обратная по отношению функция , задающая зависимость координат вектора от и (см. (2.4.9))

.

4. Функция — однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая по совокупности переменных и .

5. Матрица Якоби, вычисленная по отношению к функциям по переменным , имеет ранг, равный .

6. Подстановка функций в уравнения связей (2.4.4)

, (2.4.4)

обращает эти уравнения в тождества по переменным и .

Выполнение первых четырех условий показано выше.

• Условие 5 проверяется по формуле (2.4.7):

, . (2.4.7)

Эта формула дает явное выражение составляющих элементов вектор-функции .

Из нее следует, что последние строк матрицы Якоби образуют блок

,

который имеет .

• Условие 6 вытекает из построения соотношений (2.4.5) (см. п.2.1):

, ..., . (2.4.5)

3.2. Обобщенные координаты

3.2.1. Построение функций

Перейдем от переменных к переменным , , исходя из ранее введенных обозначений

.

Переменные , , являются координатами положений

, ,

точек системы.

Тогда соотношения (2.4.8) и (2.4.9)

(2.4.8)

и

(2.4.9)

примут вид

, , .

Здесь

, ,

, , — элементы с номерами вектор-функции , .

Из доказанных выше свойств функций и вытекают следующие свойства функций , , и .

1. Существуют такие переменные

и функции

, ,

что любое положение механической системы в любой момент времени из области  может быть однозначно определено через переменные с помощью соотношений

, . (2.4.10)

2. Функции определены и дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и , принимающих значения из области  .

3. Ранг матрицы Якоби, вычисленный по переменным  от функций , т.е. ранг матрицы , равен .

4. Система соотношений (2.4.10) однозначно разрешима относительно переменных в любой момент времени  в любом допустимом положении механической системы.

Иначе говоря, при любых значениях векторов и времени из области  существуют такие вещественные и однозначные функции

, ,

что подстановка

, ,

в правые части системы (2.4.10):

, , (2.4.10)

обращают эту систему в совокупность тождеств

, .

5. Функции определены и дважды непрерывно дифференцируемы по компонентам векторов и по времени в области  .

6. Подстановка функций

, ,

вместо векторов

, ,

в уравнения (2.4.1) геометрических связей обращают их в тождества

, ,

по совокупности переменных и .