2º. Число степеней свободы положения в голономных механических системах

Покажем, что в голономных системах можно уменьшить количество координат, с помощью которых задается любое положение механической системы.

Итак, пусть выполняются условия 1, 2, 3', указанные в п.1º для уравнений голономных связей:

1) ;

2) функции  — дважды непрерывно дифференцируемые по ,  , ;

3) , где

, , .

Для определенности считаем, что ранг реализуется на первых столбцах матрицы Якоби  .

В противном случае изменим нумерацию компонент вектора и составим из них вектор .

Изменение нумерации произведем так, чтобы первые компонент вектора совпали с теми компонентами вектора , на которых реализуется ранг матрицы Якоби .

Построенный таким образом вектор и его компоненты по-прежнему будем обозначать и , , соответственно.

2.1. Выделение независимых координат

Будем смотреть на уравнения связей  :

,

как на систему уравнений относительно переменных , считая остальные независимые переменные параметрами.

Иначе говоря, считаем, что система уравнений

,…, (2.4.4)

неявно задает функций:

, ..., . (2.4.5)

Пусть в точке  выполняются равенства (2.4.4).

Поскольку для функций , , справедливы условия 1,2,3', то система уравнений (2.4.4) удовлетворяет теореме о неявных функциях.

А потому, согласно утверждениям этой теоремы имеем:

1. По любой точке -мерного пространства , удовлетворяющей системе уравнений (2.4.4), при выполнении условия (2.4.3)

(2.4.3)

можно построить окрестность  точки - мерного пространства такую, что:

функции (2.4.5)

, ..., (2.4.5)

будут определены и непрерывно дифференцируемы в области  столько раз, сколько раз непрерывно дифференцируемы функции .

2. В точке выполняются соотношения

. .

3. Подстановка функций (2.4.5)

, ..., (2.4.5)

в уравнения (2.4.4)

,…, (2.4.4)

обращает систему уравнений связей (2.4.4) в тождества относительно переменных .

2.2. Свойства функций (2.4.5)

Из соотношений (2.4.5) следует:

• первых координат вектора  в любой момент времени  зависят от остальных координат этого вектора;

• значения координат могут выбираться независимо друг от друга из области  , где определены функции , ;

• при таком выборе указанных координат уравнения связей (2.4.1) будут выполняться тождественно, если только первые компонент вектора вычисляются по формуле (2.4.5)

, ..., . (2.4.5)

2.3. Понятие числа степеней свободы положения

Определение 4

Число называется числом степеней свободы положения механической системы.

Как следует из проведенного анализа, число  соответствует:

количеству независимых координат, с помощью которых в каждый фиксированный момент времени может быть задано любое положение механической системы, подчиненной голономным связям.

В свою очередь, отмеченное свойство координат, с помощью которых определяется положение механической системы, позволяет сделать заключение о способе задания ее движения.

А именно, для того чтобы в общем случае задать любое движение механической системы, подчиненной связям (2.4.1), необходимо и достаточно:

• указать дважды непрерывно дифференцируемых функций , позволяющих определить в каждый момент времени независимых координат этой системы;

• через них остальные координат как функции времени вычисляются заменой в формулах (2.4.5) переменных на заданные функции , соответственно;

• построенная таким образом вектор-функция будет обращать уравнения связей в тождества, справедливые для всех , где определено движение.