1.4. Понятие независимости функций

Дадим определение независимых функций [см. Фихтенгольц Г.М., т.1, глава 6, 1969г., стр.477-483].

Пусть имеется функций вида:

, ,

заданных и непрерывных в некоторой области  изменения переменных и .

Зафиксируем функцию с номером .

Определение 1

Если существует функция такая, что равенство

обращается в тождество по и в области  в том случае, когда в него вместо , , подставить , , то функция называется зависимой от остальных в области  .

Определение 2

Функции , , называются зависимыми в области  , если одна из них (все равно какая) зависима от остальных.

Определение 3

Если ни в области  , ни в какой-либо частично в ней содержащейся области  для любого и для любой функции не имеет место тождество относительно  и  вида

,

где , , то функции называются независимыми в области  .

Из определений 1 – 3 заключаем:

Условие 3, накладываемое на уравнения голономных связей, требует, чтобы функции , , удовлетворяли определению 3.

1.5. Достаточные условия независимости функций

Условия 1 и 2, накладываемые на функции в математических моделях голономных связей, проверяются легко.

Сложнее с условием 3.

Известны лишь достаточные условия независимости функций.

Они доказаны в курсе математического анализа. Приведем их применительно к функциям .

Напомним, что в нашем случае, согласно условию 2, функции заданы и дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных  и  в области  .

Введем следующую матрицу , называемую матрицей Якоби:

. (2.4.2)

В соотношения (2.4.2) включены различные формы представления матрицы  , которые будут использоваться в дальнейшем.

Матрица имеет размерность .

В ней обозначает вектор-столбец

,

где символ *(звездочка) соответствует операции транспонирования.

Иногда, в более короткой записи, матрицу будем представлять в виде

,

где под  и  понимаются векторы-столбцы

, .

Пусть — некоторая точка в области  .

Тогда справедлива следующая теорема, доказанная в курсе математического анализа.

Теорема (о независимости функций)

Если ранг матрицы Якоби равен , и этот ранг достигается в точке , то в некоторой окрестности точки будут независимы функций из числа заданных , , а остальные от них зависят. А именно, независимыми будут те функций, производные от которых входят в определитель - го порядка, не равный нулю в точке и по которому определяется ранг.

Теорема дает достаточные условия независимости функций.

1.6. Формулировка третьего условия с учетом теоремы о независимости функций

В дальнейшем будем считать, что применительно к функциям , , выполнены условия теоремы о независимости функций во всей области  , причем в этих условиях

.

Тем самым вместо условия 3, накладываемого на функции , будем считать выполненным условие 3', которое формулируется следующим образом.

Условие 3': Ранг матрицы Якоби для функций , , вычисленной по переменным , при всех значениях переменных , из области  задания функций , равен  , где — количество связей:

. (2.4.3)

Из условия 3' следует, что уравнения геометрических связей независимы во всей области задания функций .