§4. Обобщенные координаты голономной системы. Число степеней свободы

1º. Требования, накладываемые на уравнения голономных связей

Будем рассматривать механические системы с голономными связями.

Сформулируем требования, которым должны удовлетворять уравнения голономных связей.

1.1. Понятие множества возможных положений

Математические модели голономных связей в общем случае образуют систему равенств вида

, . (2.4.1)

Сюда включены и интегрируемые дифференциальные связи, предварительно проинтегрированные.

Аргументами функций  являются время и векторы

, ,

где — координаты точки  , , механической системы в выбранной системе отсчета.

Будем смотреть на эти равенства как на систему уравнений относительно положений , , точек механической системы, считая при этом время параметром.

Ясно, что при таком взгляде на систему уравнений (2.4.1) можно трактовать эту систему следующим образом.

Она определяет (задает) в каждый момент времени множество допустимых положений материальных точек — положений, которые «связи позволяют материальной системе занимать в момент времени ».

Такие положения будем называть возможными или допустимыми положениями механической системы, а совокупность положений , , являющихся решением системы уравнений (2.4.1) в фиксированный момент времени , — множеством допустимых (возможных) положений в этот момент времени.

1.2. Уравнения голономных связей в координатной форме

Запишем систему уравнений (2.4.1) в зависимости от координат материальных точек.

Введем обозначения:

,..., .

После их подстановки в (2.4.1) будем иметь

, .

В для зависимостей левых частей от новых переменных и сохранено обозначение  из равенств (2.4.1):

, . (2.4.1)

Ясно, что системой уравнений (2.4.1') множества допустимых положений в момент времени задаются в координатной форме.

1.3. Общие требования к математическим моделям голономных связей

В механике принято считать, что количество связей и функции удовлетворяют следующим трем условиям:

1. .

2. Функции определены и дважды непрерывно дифференцируемы в области изменения переменных  и  .

Область изменения либо совпадает со всем - мерным пространством, либо определяется областью допустимых положений механической системы в период времени, в течение которого могут происходить ее движения.

Область изменения переменных  и  , в которой задаются функции , будем обозначать  .

3. Функции , , независимы друг от друга в области  .

Поясним смысл данных требований.

• Условие 1 означает, что количество связей меньше, чем количество координат механической системы.

Если бы было , то система уравнений  , вообще говоря, определяла бы конкретную функцию (при  ), либо была бы несовместна.

В том и другом случае нет смысла изучать движения таких механических систем.

• Условие 2 диктуется следующими обстоятельствами.

Согласно законам, лежащим в основе всех математических моделей движения, причинами возникновения и развития механического движения являются силы, создающие ускорения материальных точек, входящих в состав механической системы.

А потому для построения таких математических моделей возникает необходимость вычисления ускорений на движениях механических систем при действии связей  .

Это, в свою очередь, требует наложения условия 2 на функции .

Прежде чем пояснить смысл условия 3, сделаем следующее замечание.

Замечание

Пусть определена функция:

,

где:

принимают значения из множества .

Аргументами функции являются функции

, , ,

задающие геометрические связи.

И пусть

.

Введем другую функцию — функцию , зависящую от переменных и , построенную по формуле

.

Если на движениях выполняются тождества

,…, ,

то на таких движениях будет обязательно выполняться тождество

.

Иначе говоря, если введем дополнительную связь

,

то она не будет накладывать никаких дополнительных ограничений на движения  , если обращает уравнения связей

,…,

в тождества.

Поэтому, если для какой-либо функции можно найти зависимость

от других функций , входящих в систему  , то связь под номером можно исключить из ограничений, задаваемых данной системой.

Такая связь является лишней. Она автоматически реализуется, если на движениях выполнены ограничения, задаваемые функциями :

, .

Теперь обратимся к третьему условию, накладываемому на уравнения связей:

«Функции , , независимы друг от друга в области  ».

Смысл условия 3 состоит в том, что:

в совокупности функций нет ни одной такой функции  , которую можно было бы представить в виде функции

,

где — какой-либо набор индексов из множества .

Иначе говоря, в указанной совокупности нет ни одной функции , зависимой от остальных.