Глава 2. Кинематика системы материальных точек
§3. Линейные дифференциальные связи первого порядка и условия их интегрируемости
5º. Понятие голономных и неголономных механических систем
Будем рассматривать механические системы, на которые наложены связи, задаваемые кинематическим способом.
Полагаем,
что среди них имеются
геометрических
и
дифференциальных
связей первого порядка.
В дальнейшем будем рассматривать только такие механические системы, в которых дифференциальные связи являются линейными.
Дадим понятие голономных и неголономных механических систем.
Уравнения линейных дифференциальных связей, как отмечено выше, имеют вид:
,
. (2.3.44)
Запишем
для каждой связи с номером
соответствующее ей уравнение в полных
дифференциалах
. (2.3.45)
Определение 8
Линейная дифференциальная связь с номером (в системе (2.3.44))
, , (2.3.44)
называется интегрируемой, если существует решение уравнения (2.3.45) с номером в полных дифференциалах
(2.3.45)
при
любых начальных условиях
,
и
.
Определение 9
Линейные
дифференциальные связи с номерами
, 
,
в системе (2.3.44):
, , (2.3.44)
называются интегрируемыми в совокупности, если при любых , и является интегрируемой система уравнений в полных дифференциалах:
, 
.
Определение 10
Исключим из рассмотрения в системе (2.3.44) все интегрируемые и интегрируемые по совокупности связи. Оставшиеся связи называются неинтегрируемыми линейными дифференциальными связями, а исключенные связи называются интегрируемыми.
Определение 11
Неинтегрируемые дифференциальные связи называются «неголономными», или «кинематическими связями».
Определение 12
Интегрируемые связи в совокупности с геометрическими называются голономными связями.
Название «кинематические связи» не следует смешивать с кинематическим способом задания связей.
Кинематический способ задания связей — это способ задания связей с помощью математических моделей, причем эти модели могут задавать как голономные, так и неголономные связи.
«Кинематические связи» — это класс связей (подмножество связей) во всем множестве связей, задаваемых «кинематическим способом».
Определение 13
Линейная
дифференциальная связь с номером
называется стационарной
дифференциальной
связью, если все коэффициенты
,
,
не зависят явно от
,
а свободный член 
отсутствует, т.е.
.
В определении стационарной линейной дифференциальной связи требуется, чтобы . Поясним смысл этого условия, т.е. чем оно вызвано.
Если связь интегрируема, то, как показано ранее, путем интегрирования можно заменить ее модель математической моделью геометрической связи.
Если
коэффициенты
,
,
не зависят явно от
,
а коэффициент
,
то можно привести примеры, когда
математическая модель соответствующей
геометрической связи после интегрирования
дифференциальной связи будет явно
зависеть от
.
Иначе говоря, геометрическая связь, соответствующая такой интегрируемой дифференциальной связи, будет нестационарной.
Чтобы
исключить такие ситуации, требуется,
чтобы коэффициент
.
Пример нестационарной геометрической связи, соответствующей интегрируемой линейной дифференциальной связи, в которой , хотя все коэффициенты и , , в ее уравнении не зависят явно от , — тривиален.
Пример 3
Пусть
,
,
— постоянные векторы.
Тогда
после интегрирования соответствующей
дифференциальной связи получим функцию
,
для которой
:
.
Соответствующая геометрическая связь задается формулой
.
Если в ее математической модели , то такая связь не является стационарной.
Определение 14
Линейная дифференциальная связь с номером называется «стационарной кинематической связью», если все коэффициенты , , не зависят явно от , , и связь с номером является неинтегрируемой в любой совокупности , включающей в себя и связь .
Замечание
По
аналогии с линейной кинематической
связью, нелинейную
кинематическую связь
будем называть стационарной,
если время
явно не входит в уравнение связи, и при
,
,
уравнение связи обращается в тождественный
нуль. Тождество рассматривается по
положениям 
точек механической системы.
Определение 15
Механическая система называется голономной, если все связи, накладываемые на нее кинематическим способом, являются голономными.
Такая система называется стационарной голономной, если все эти связи стационарны.
Если хотя бы одна из связей нестационарная, то голономная механическая система называется нестационарной.
Определение 16
Механическая система называется неголономной, если среди связей, накладываемых на нее кинематическим способом, имеется хотя бы одна кинематическая, т.е. имеется хотя бы одна связь, неинтегрируемая в любой совокупности с другими дифференциальными связями.
Такая система называется стационарной неголономной системой, если все ее связи (и голономные, и неголономные) являются стационарными.
В противном случае она называется нестационарной неголономной системой.