5. Дополнение 5 к п. 4 §3 (к стр. 20 лекции)

Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса)

Для того чтобы система (2.3.35)

(2.3.35)

была вполне интегрируема в области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

(2.3.36)

для всех ; .

Тождества (2.3.36) рассматриваются по всем значениям переменных , в области .

Необходимость

Пусть система (2.3.35)

. (2.3.35)

вполне интегрируема в области .

Это значит, что для любых существуют функции , , являющиеся компонентами вектора , со свойствами, указанными в определении 5.

Тогда подстановка функций  в систему (2.3.35) обращает уравнения в тождества.

Из этих тождеств делаем вывод о том, что правые части уравнений (2.3.35) являются полными дифференциалами функций , .

Тогда, согласно теореме 1 из п.3º, для коэффициентов

и ,

каждого из уравнений с номером , , справедливы тождества:

, (2.3.37)

, (2.3.38)

(2.3.39)

для всех , для которых определены функции  .

Здесь в последнем тождестве через и обозначены операторы вычисления частной производной по координате и , соответственно, от суперпозиции функций и (для оператора ) и функций и (для оператора ).

Раскроем левую часть тождества (2.3.39). Будем иметь

.

Подставляя в правую часть вместо тождество (2.3.38), записанное для , окончательно получим

(2.3.40)

Аналогично, вычисляя правую часть тождества (2.3.39) и учитывая тождество (2.3.37) для , найдем

(2.3.41)

После подстановки функций (2.3.40) и (2.3.41) в соотношение (2.3.39), оно примет вид:

; .

Эти тождества справедливы для всех , для которых определены функции .

Полагая в них и учитывая, что , придем к следующим равенствам

; .

В силу произвольности выбора точки , полученные равенства справедливы для всех точек области  . А это значит, что имеют место тождества (2.3.36) по .

Необходимость доказана.

Доказательство достаточности можно найти в монографии:

Ф.Хартман. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Мир, М.,1970, в главе 6 (стр.144 - 163).