4. Дополнение 4 к п.3 (к стр. 13 лекции)

Пример. Движение конька

На рисунке 2.3.1 конек схематично представлен в виде отрезка , положение которого зафиксировано в некоторый момент времени в плоскости его движения.

Рис.2.3.1

Движение конька рассматриваем в системе отсчета с направляющими ортами .

Обозначим — радиус-вектор любой точки  лезвия конька, а — радиус-вектор некоторой фиксированной точки  этого лезвия.

На рис.2.3.1 в качестве точки  выбрана середина лезвия конька.

Обозначим — направляющий орт прямой  , на которой в момент времени находится лезвие конька. Направляющий вектор этой прямой совпадает с направлением стопы фигуриста от пятки к пальцам.

Пусть . Тогда можем записать

, .

Здесь — расстояние от точки  до точки  в любой момент времени .

Отсюда следует, что движение любой точки лезвия конька определено, если определены движение  точки  и закон изменения направления орта  .

Это значит, что для того, чтобы знать движение любой точки лезвия конька, достаточно определить движение  точки  и движение орта  .

Введем следующие обозначения:

• — координаты точки ;

• — угол между ортом  и плоскостью , отсчитываемый от плоскости до орта ;

, причем, если , то ; если , то ;

• — угол, отсчитываемый от орта оси

в плоскости  до проекции орта на эту плоскость; угол отсчитывается в положительном направлении оси относительно орта  ; .

В этих обозначениях будем иметь

,

.

Отсюда следует, что для определения движения конька, достаточно знать закон изменения пяти координат: .

Будем рассматривать следующую модель движения конька.

1. Движение лезвия при всех происходит в плоскости (конек не отрывается от плоскости льда).

2. Точка движется так, что ее скорость остается параллельной орту  .

Из условия 1 вытекает, что в предлагаемой модели движения должны выполняться ограничения, являющиеся голономными стационарными связями:

; . (2.3.29)

Если обозначить компоненты вектора  в системе  , то из второго условия предлагаемой модели движения находим следующие ограничения, которые имеют вид дифференциальных связей первого порядка:

, .

Учитывая, что , , , от этих уравнений переходим к уравнениям в полных дифференциалах:

, (2.3.30)

. (2.3.31)

Дифференциальная связь (2.3.30) интегрируема. После ее интегрирования придем к геометрической связи (2.3.29). Поэтому связь (2.3.30) можно исключить из рассмотрения.

Покажем, что связь (2.3.31) неинтегрируемая. Уравнение этой связи по виду совпадает с уравнением (2.3.27), в котором следует заменить обозначение переменной буквой , а коэффициенты и заменить функциями

, .

Поэтому, применяя следствие 2, можем записать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости связи (2.3.31) задается тождеством (2.3.28):

.

Подставляя в левую часть этого тождества явное выражение функций   и  , получаем

(;/0.

Поскольку данное соотношение не является тождеством, то из следствия 2 делаем вывод, что связь (2.3.31) неинтегрируемая.