Дополнение 2 к п.3 §3 (к стр. 10 лекции)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 7. Кинематика Гл.2 18пт.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Дополнение 2 к п.3 §3 (к стр. 10 лекции)

Теорема 2

Если левая часть уравнения (2.3.5):

(2.3.5)

является полным дифференциалом некоторой функции в области , то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.

Доказательство

Пусть существует функция такая, что

Тогда из доказательства теоремы 1 следует:

1) функция дважды непрерывно дифференцируема;

2) , .

Поскольку согласно условиям, накладываемым на коэффициенты уравнения (2.3.5)

где

– вектор-строка, элементами которой являются коэффициенты , , уравнения (2.3.5), то:

для любого существует индекс такой, что (для заданной точки ).

Это значит

Рассмотрим уравнение

. (2.3.15)

Оно обладает свойствами:

1) дважды непрерывно дифференцируема;

2) ;

3) .

А тогда по теореме о неявной функции оно задает функцию

обладающую свойствами:

1) дважды непрерывно дифференцируема;

2) ;

3) справедливо следующее тождество по переменным :

. (2.3.16)

Вычислим дифференциал функции , задаваемой формулой (2.3.15):

. (2.3.15)

. (2.3.17)

Он совпадает с дифференциалом функции и левой частью уравнения (2.3.5):

. (2.3.5)

Вычислим дифференциал функции с учетом того, что

Для этого, с одной стороны, надо в функции заменить компоненту вектора функцией .

Тогда получим тождество (2.3.16):

. (2.3.16)

Из тождества (2.3.16) следует, что дифференциал его левой части совпадает с дифференциалом правой части. А потому он будет тождественно равен нулю:

. (2.3.18)

В (2.3.18) тождество рассматривается по всем переменным

и .

С другой стороны, можем подставить функцию в правую часть выражения (2.3.17):

(2.3.17)

и заменить в ней на (дифференциал переменной на дифференциал функции ).

Результат этих действий должен быть одинаков с результатом, полученным при вычислении через дифференцирование тождества (2.3.16), т.е. должен совпасть с (2.3.18) (с нулем).

Поскольку второй путь вычисления означает подстановку функции в левую часть уравнения (2.3.5):

, (2.3.5)

то можем сделать вывод, что функция является решением уравнения (2.3.5). Теорема доказана.

3. Дополнение 3 к п. 3 (к стр. 11 лекции)

Теорема 3 (первая теорема Фробениуса)

Для того чтобы уравнение (2.3.5)

(2.3.5)

было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса , , для которого :

(2.3.19)

для всех , причем и .

Необходимость

Пусть уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо. Проведем предварительное преобразование уравнения (2.3.5).

Так как для существует такое, что и при из окрестности точки , то можем записать уравнение (2.3.5) в виде

. (2.3.20)

Поскольку уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо, то существует функция , которая при подстановке в левую часть уравнения (2.3.5) и дифференциала вместо переменной и дифференциала обращает ее в тождественный нуль.

Это значит, что при такой замене и в обеих частях равенства (2.3.20) оно также обращается в тождество.

Отсюда можем сделать вывод, что правая часть соотношения (2.3.20) при подстановке в нее вместо функции , т.е. при замене в ней в коэффициентах и переменной на , представляет собой полный дифференциал функции .

А тогда для правой части равенства (2.3.20) (если ее рассматривать как функцию переменных и ) справедливы условия теоремы 1.

Запишем эти условия для (коэффициентов правой части равенства (2.3.20)), учитывая, что в них сделана замена . Тогда будем иметь, учитывая, что в условиях теоремы 1 роль функции играет функция