Дополнения к Лекции 1 по главе 2

1. Дополнение 1 к п.3 §3 (к стр.9 лекции)

Теорема 1

Для того чтобы левая часть уравнения (2.3.5) была полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

, , (2.3.6)

для всех . (2.3.7)

Здесь тождества рассматриваются по переменным при всех  , где определена функция  .

Доказательство

Докажем необходимость условий (2.3.6), (2.3.7).

Пусть левая часть уравнения (2.3.5) есть полный дифференциал некоторой функции , определенной в области .

Это значит, что:

1. функция — непрерывно дифференцируема (ибо существует ее полный дифференциал);

2. ее дифференциал имеет вид

. (2.3.8)

Здесь — дифференциалы переменных , т.е. (по определению дифференциала) — это независимые сколь угодно малые произвольные величины.

• Доказательство выполнения тождеств (2.3.6):

, . (2.3.6)

Согласно нашему условию, правая часть формулы (2.3.8) при всех значениях и дифференциалов , , совпадает с левой частью уравнения (2.3.5):

. (2.3.5)

Иначе говоря, при всех значениях и дифференциалов , , выполняется равенство

.

Отсюда в силу произвольности , , для всех значений из области  получаем

, . (2.3.9)

Этим доказана справедливость тождеств (2.3.6).

• Доказательство выполнения тождеств (2.3.7):

для всех . (2.3.7)

Поскольку коэффициенты , , в уравнении (2.3.5) непрерывно дифференцируемы, то из тождеств (2.3.9) следует непрерывная дифференцируемость функций по переменным .

В свою очередь, это означает, что функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по переменным .

Кроме того, из непрерывности смешанных производных второго порядка от функции следует справедливость тождеств

для всех . (2.3.10)

Дифференцируя (2.3.9) по :

, , (2.3.9)

получаем

. (2.3.11)

Запишем условие (2.3.9) для индекса и продифференцируем это соотношение по переменным .

Получим

. (2.3.12)

Подставляя (2.3.11) и (2.3.12) в тождества (2.3.10), приходим к тождествам (2.3.7):

для всех . (2.3.7)

Необходимость доказана.

Достаточность

Доказательство будем проводить для случая . Это доказательство легко распространяется на случай .

При функции зависят от трех переменных :

,

,

и являются непрерывно дифференцируемыми по этим переменным в области  .

Покажем, что если выполнены условия (2.3.7), то можно построить такую непрерывно дифференцируемую функцию  в некоторой области , для которой будет выполняться

(2.3.13)

Если это будет доказано, то из непрерывной дифференцируемости функции  следует существование полного дифференциала этой функции

,

а из тождеств (2.3.13) — его совпадение с левой частью уравнения (2.3.5):

.

Итак, докажем существование такой функции .

Зафиксируем любую точку и выберем ограниченную область , которая содержит эту точку. Положим

Здесь интегрирование осуществляется по каждой координате ,  , вне зависимости от значений двух других координат ,  ,  .

Кроме того, — это произвольно выбранное фиксированное значение функции в точке .

Очевидно, функция  определена и непрерывна по совокупности переменных в некоторой области  , целиком содержащейся в области  .

Такой областью  , например, является параллелепипед с гранями, параллельными соответствующим координатным осям  , вписанный в область  и содержащий точку  .

Из вида функции  заключаем, что она непрерывно дифференцируема по переменным  , поскольку интегралы непрерывно дифференцируемы по верхнему пределу, подынтегральные функции непрерывно дифференцируемы по параметрам, и интегралы берутся по ограниченному промежутку изменения переменных (ибо область ограничена).

Вычислим в любой точке и покажем, что для них справедливы тождества (2.3.13) при любом . Очевидно, при будем иметь

,

т.е. справедливо первое тождество в (2.3.13).

Покажем справедливость второго тождества в (2.3.13). Согласно правилу Лейбница – правилу вычисления производной интеграла, зависящего от параметра [см. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2, М.: Наука, 1969, стр.661], при можем записать:

. (2.3.14)

Воспользуемся тождеством (2.3.7)

.

Записанное для функций и , это тождество справедливо для всех , а значит, и для всех .

Заменим подынтегральное выражение в (2.3.14) правой частью тождества.

.

Результат вычисления интеграла подставим в правую часть формулы (2.3.14):

.

Данное равенство справедливо при любом . Этим доказали справедливость второго тождества в (2.3.13).

Докажем справедливость третьего тождества в (2.3.13). Применим правило Лейбница при вычислении  .

Учитывая тождества (2.3.7)

, ,

и заменяя подынтегральные выражения правыми частями этих тождеств, получим

.

Отсюда следует:

для .

Теорема доказана.