4.1. Преобразование уравнений связей к специальному виду
В случае линейные дифференциальные связи описываются системой уравнений в полных дифференциалах:
,
. (2.3.34)
Здесь
— количество связей,
.
Коэффициенты
,
,
,
являются функциями от переменных
,
заданными и непрерывно дифференцируемыми
при любом
.
Коэффициенты
образуют матрицу
размерности
.
Будем считать, что
при любых .
Не
нарушая общности рассуждений, можно
считать, что
определяется по первым
столбцам, т.е. определитель матрицы
,
составленный из первых
столбцов, в любой фиксированной точке
отличен от нуля.
В
силу непрерывности элементов матрицы
,
рассматриваемых как функции от
,
этот определитель будет отличен от нуля
в некоторой окрестности
фиксированной точки
.
Поэтому
систему (2.3.34)
можем разрешить относительно
дифференциалов
(рассматривая ее как линейную систему
алгебраических уравнений относительно
).
Обозначим:
— вектор-столбец
размерности 
,
составленный
из первых
компонент вектора
,
— вектор-столбец
размерности 
,
,
составленный из оставшихся компонент вектора :
,
.
Тогда система (2.3.34) перепишется в виде
. (2.3.35)
Здесь:
матрица
размерности
определена и непрерывно дифференцируема
по компонентам векторов
и
в области
;
и
— вектора, составленные из дифференциалов
, 
,
и
, 
.
4.2. Понятие интегрируемости и полной интегрируемости системы (2.3.35)
Определение 5
Система (2.3.35):
(2.3.35)
называется
интегрируемой при
и
,
если существует вектор-функция
,
такая, что:
при любом , где определена вектор-функция , точка
;
вектор-функция непрерывно дифференцируемая в области ее определения;
при выполняется равенство
;
при подстановке вектор-функции в систему (2.3.35) эта система обращается в систему тождеств относительно и .
Определение 6
Вектор-функция
,
удовлетворяющая определению 5,
называется
решением задачи Коши системы
уравнений (2.3.35),
проходящим через точку 
.
Определение 7
Система
(2.3.35) называется вполне интегрируемой
в области
,
если она интегрируема при любых
.
4.3. Вторая теорема Фробениуса
Необходимые и достаточные условия интегрируемости системы (2.3.35) даются второй теоремой Фробениуса.
Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса)
Для того чтобы система (2.3.35)
(2.3.35)
была вполне интегрируема в области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
(2.3.36)
для
всех
;
.
Тождества (2.3.36)
рассматриваются по всем значениям
переменных
,
в области
.
Вывод формулы (2.3.36) дается в Дополнении 5 при доказательстве необходимости условий теоремы 4 (см. стр. 48).
4.4. Пример интегрируемой системы, состоящей из двух неинтегрируемых связей
Обратимся к примеру из предыдущего пункта (п.3º).
Приведем систему (2.3.32)
(2.3.32)
к виду (2.3.35):
. (2.3.35)
Обозначим
,
,
.
Тогда,
разделив первое и второе уравнения на
,
придем к системе:
,
.
Правые
части определены при всех
,
кроме множества
.
Имеем
,
,
,
.
Проверим выполнение условий второй теоремы Фробениуса:
(2.3.36)
для
всех
;
.
Полагаем
для связи с номером
значения
индексов
и
:
а)
; б)
.
Следует
заметить, что условия Фробениуса
симметричны относительно
при любом фиксированном
.
Поэтому
проверять их можно только для значений
(или
).
В
нашем случае достаточно рассмотреть
только
(при
).
Запишем левую часть условия (2.3.36):
(2.3.36)
при , с учетом того, что:
, ,
, .
Получим
.
Легко видеть, что она приводится к виду:
. (2.3.42)
Вычислим правую часть условий Фробениуса (2.3.36):
(2.3.36)
для , с учетом того, что:
, ,
, .
Получим
. (2.3.43)
Сопоставляя (2.3.42) и (2.3.43):
, (2.3.42)
видим, что условия Фробениуса для выполняются.
Проверим
эти условия для
и
.
Вычислим левую часть (2.3.36):
(2.3.36)
с учетом того, что:
, ,
, .
Получим:
.
Аналогично находим выражение для правой части
.
Сопоставляя левую:
и правую части, видим, что они совпадают, т.е. условия Фробениуса для выполняются.
Таким образом, выполнены все условия второй теоремы Фробениуса. Поэтому система (2.3.32):
(2.3.32)
вполне
интегрируема при
.
Пример показывает, что если уравнение хотя бы одной дифференциальной связи не интегрируемо, то это еще не значит, что в совокупности с другими уравнениями связей оно не будет интегрируемо.