3.2.2. Достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5)

Теорема 2

Если левая часть уравнения (2.3.5):

(2.3.5)

является полным дифференциалом некоторой функции в области , то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.

Доказательство теоремы 2 приведено в Дополнении 2 к п. 3 §3 (см. стр. 35).

Из теорем 1 и 2 следует, что условия теоремы 1 являются достаточными для интегрируемости уравнения (2.3.5).

3.3. Первая теорема Фробениуса.

Укажем теперь необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5) в общем случае, когда левая часть уравнения (2.3.5) не является полным дифференциалом. Они даются теоремой Фробениуса.

Теорема 3 (первая теорема Фробениуса)

Для того чтобы уравнение (2.3.5)

(2.3.5)

было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса ,  , для которого :

(2.3.19)

для всех , причем и .

Тождества рассматриваются относительно переменных во всей области задания коэффициентов уравнения (2.3.5).

Вообще говоря, тождества (2.3.19) можно рассматривать и при значениях индекса либо индекса .

Легко проверить, что при либо при тождества (2.3.19) выполняются.

Поэтому смысл последней оговорки в условиях теоремы (оговорка, что и ) заключается в том, что нет нужды строить левые части (2.3.19) для значений и , совпадающих с индексом , потому что при либо при тождества (2.3.19) всегда выполняются.

Тождество (2.3.19) выполняется также и при .

Кроме того, условия (2.3.19) симметричны относительно равенства .

Поэтому, по существу, условия (2.3.19) следует рассматривать только при одном из неравенств: при либо при .

Вывод формулы (2.3.19) дается в Дополнении 3 к п. 3 §3 (см. стр. 39) при доказательстве необходимости условий теоремы 3.

3.4. Следствия из теоремы Фробениуса

Рассмотрим два частных случая.

1. Уравнение (2.3.5) имеет вид

. (2.3.25)

Здесь , — непрерывно дифференцируемые функции.

Обозначим

, ,

где оператор (набла) имеет вид

.

Поэтому

.

Справедливо утверждение.

Следствие 1

Для того чтобы уравнение (2.3.25) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

, (2.3.26)

или иначе .

Доказательство состоит в записи условий Фробениуса для частного случая, описываемого уравнением (2.3.25).

2. Пусть уравнение (2.3.5) имеет вид

. (2.3.27)

Здесь , — непрерывно дифференцируемые функции.

Следствие 2

Для того чтобы уравнение (2.3.27) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

либо , (2.3.28)

т.е. либо не зависит от .

Доказательство вытекает из проверки условия (2.3.26):

. (2.3.26)

3.5. Пример неинтегрируемой связи

В дополнении 4 (см. стр. 43) приводится пример неинтегрируемой связи вида (2.3.27). Здесь же рассмотрим пример двух неинтегрируемых связей, который будет полезен при изучении линейных дифференциальных связей в случае s>1.

Пример

Пусть даны две дифференциальные связи, которые описываются уравнениями в полных дифференциалах следующего вида:

(2.3.32)

Уравнения связей заданы при и любых значениях и . Проверим условие интегрируемости каждой связи в отдельности.

Рассматриваем первую связь (2.3.32).

В обозначениях, которые приняты для уравнений в полных дифференциалах, из этой связи находим:

(2.3.33)

Запишем условие Фробениуса (2.3.19) для

. (2.3.19)

Подстановка функций и аргументов из соотношений (2.3.33):

(2.3.33)

со значениями индексов в левую часть (2.3.19) приведет ее к следующему виду:

.

Поскольку функция не является тождественным нулем, то это значит, что условие Фробениуса (2.3.19) не выполняется.

А тогда из теоремы Фробениуса следует, что первое уравнение из (2.3.32) неинтегрируемо.

Аналогично устанавливается, что и вторая дифференциальная связь из системы (2.3.32) не будет интегрируемой.

Действительно, для второй связи имеем:

, , , ,

, , , .

А тогда при значениях индексов получим левую часть условия Фробениуса в виде функции , которая не является тождественным нулем. Это значит, что условие Фробениуса не выполняется.

Однако если эти две связи рассматривать совместно (как систему уравнений в полных дифференциалах), то такая система связей будет вполне интегрируемой.

Это утверждение будет доказано в следующем пункте после того, как дадим вывод необходимых и достаточных условий интегрируемости системы уравнений в полных дифференциалах в случае .

4º. Условия интегрируемости линейных дифференциальных связей в случае s>1