3º. Условия интегрируемости уравнения в полных дифференциалах в случае (одна дифференциальная связь)

3.1.Одна дифференциальная связь. Понятие интегрируемости и полной интегрируемости

3.1.1.Уравнение в полных дифференциалах для одной дифференциальной связи

В случае уравнение в полных дифференциалах имеет вид:

. (2.3.5)

Здесь

• ,  — функции, заданные при и непрерывно дифференцируемые по переменным ;

• обозначает вектор размерности , компонентами которого являются переменные ;

• область — открытое связное множество.

Из условия, накладываемого на матрицу коэффициентов

,

вытекает, что для любой точки существует такой коэффициент , что

.

В силу непрерывности функции это неравенство справедливо, по крайней мере, в некоторой окрестности точки , содержащейся в области .

Введем следующие обозначения.

Если какая-либо функция не зависит явно от переменной из совокупности переменных , то совокупность переменных будем обозначать  , а функцию , соответственно, .

3.1.2. Понятие интегрируемости уравнения в полных дифференциалах

Дадим понятие интегрируемости уравнения (2.3.5) и определение решения уравнения (2.3.5):

. (2.3.5)

Определение 2

Уравнение (2.3.5) называется интегрируемым при , если существует индекс , и функция , обладающие следующими свойствами:

• функция зависит от переменной и не зависит от ;

• при всех из области значения функции также принадлежат области ;

• справедливо равенство

;

• функция определена и непрерывно дифференцируема по совокупности переменных в окрестности точки ;

• при подстановке функции и дифференциала этой функции в уравнение (2.3.5) вместо переменной и дифференциала оно обращается в тождество по переменным и при всех из окрестности точки  .

Определение 3

Функция со свойствами, указанными в определении 2, называется решением уравнения (2.3.5), проходящим через точку .

Определение 4

Уравнение (2.3.5) называется вполне интегрируемым в области  , если оно интегрируемо при .

3.2. Достаточные условия интегрируемости

Докажем условия интегрируемости уравнения (2.3.5)

. (2.3.5)

3.2.1. Условия совпадения левой части уравнения (2.3.5) с полным дифференциалом функции

Рассмотрим сначала случай, когда левая часть уравнения (2.3.5) совпадает с дифференциалом некоторой функции . Укажем необходимые и достаточные условия, при которых возникает такая ситуация.

Теорема 1

Для того чтобы левая часть уравнения (2.3.5) была полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

, , (2.3.6)

для всех . (2.3.7)

Здесь тождества рассматриваются по переменным при всех  , где определена функция  .

Доказательство теоремы 1 приводится в Дополнении 1 к п. 3 §3 (см. стр. 26), [см. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3, М.: Наука, 1969, стр.50-55].