4. Предсказания и прогнозы на основе линейной модели регрессии

Мы можем воспользоваться построенной моделью для нахожде­ния значения у при известном значении х. Модель строилась по зна­чениям x₁, x₂, …, x_n. Поэтому поиск значения у для х из интервала (х₁, x_n) называется предсказанием, а поиск значения у для x вне интер­вала (х₁, x_n) называется прогнозом. Чем дальше расположен x от интер­вала (х₁, x_n), тем менее точным будет прогноз.

Пример 3. Найдем ожидаемое значение себестоимости y при выпуске продукции x = 5,5 тыс. шт.

y = 2,12 – 0,11x.

Тогда y(5,5) = 2,12 – 0,11 ∙ 5,5 = 1,515 тыс. руб.

Замечание. Для прогноза значений переменной у можно восполь­зоваться статистической функцией ТЕНДЕНЦИЯ (изв_знач_y; изв_знач_x; нов_знач_х; константа) мастера функций f_x пакета Ехсе1. Нов_знач_х – это ссылка на ячейки, содержащие значения перемен­ной x, для которых ищется прогноз. Если необязательный аргумент константа = 0, то коэффициент a = 0. По известным значениям переменных x, y функция сама подбирает уравнение прямой линии и дает прогноз. Функцию ТЕНДЕНЦИЯ можно использовать и в случае множественной линейной регрессии. Для парной линейной регрессии можно воспользоваться и статистической функцией ПРЕДСКАЗ (х; изв_знач_y; изв_знач_x), где x – это значение пере­менной x, для которого ищется прогноз.

5. Основные предпосылки модели парной линейной регрессии

1. Связь между переменными х, у является линейной.

2. Независимая переменная х может быть использована для про­гноза у.

3. Остатки (то есть ошибки) нормально распределены.

4. Для всех данных х математическое ожидание ошибки равно ну­лю и дисперсия ошибки постоянна.

5. Ошибки независимы.

6. Процедура испытания гипотез

Очень часто генеральная совокупность должна подчиняться не­которым параметрам. Например, фасовочная машина должна напол­нять пакеты сахаром по 1 кг. Как узнать, действительно ли генераль­ная совокупность подчиняется этим ограничениям? С этой целью проводят испытание гипотез.

Из генеральной совокупности проводят выборку объема n. Для этой выборки вычисляют нужные характеристики. Затем формули­руют две гипотезы: основную H₀ и альтернативную H₁. Основная ги­потеза H₀ – это то утверждение, которое подлежит проверке.

Например, гипотеза H₀: генеральная средняя a = 2. Альтернатив­ная гипотеза H₁ в этом примере может быть сформулирована любым из следующих трех способов:

а) H₁: a > 2 (правосторонняя проверка);

б) H₁: a < 2 (левосторонняя проверка);

в) H₁: a ≠ 2 (двусторонняя проверка).

Исследователь задает доверительную вероятность p – величину, которая отражает степень уверенности исследователя в результате испытания. Для односторонней проверки α = 1 – p, для двусторон­ней проверки α = (1 – p)/2. Величина 1 – p называется уровнем значи­мости.

По α, n в зависимости от вида решаемой задачи по таблицам на­ходят одну (для односторонней проверки) или две (для двусторонней проверки) граничные точки, которые наносят на координатную ось. Порядок нахождения граничных точек показан далее.

По результатам выборки вычисляется величина, называемая ста­тистикой. Формула для вычисления статистики зависит от вида ре­шаемой задачи. Значение статистики наносят на координатную ось. В зависимости от взаимного расположения значения статистики и граничных точек возможен один из трех вариантов:

1) принимается H₀;

2) отклоняется H₀ и без всякой проверки принимается H₁;

3) доказательство является неубедительным, нужно больше данных.

Для левосторонней проверки:

Отклонение H0 П ринятие H1	Принятие H0 p%
	граничная точка

Для правосторонней проверки:

Принятие H0 p %	Отклонение H0 Принятие H1 (100 – p)%
	граничная точка

Для двусторонней проверки:

Отклонение H0 Принятие H1 [(100 – p)/2]%	Принятие H0 p %	Отклонение H0 Принятие H1 [(100 – p)/2]%
граничная точка		граничная точка

Чем выше доверительная вероятность, тем шире область приня­тия H₀.