3.5.3 Нормальный закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид

где (3.16)

При этом – математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу равна

, где (3.17)

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а, не превысит по абсолютой величине , равна .

Следствие («правило трех сигм»). Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е. .

Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале .

Пример 52. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Решение. Воспользуемся формулой Подставив , получим . По таблице приложения . Искомая вероятность .

Пример 53. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найдите вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому . Положив находим .

3.6. Основные свойства числовых характеристик случайной величины

3.6.1. Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если С – постоянная, то

.

2. Постоянную можно выносить за знак математического ожидания, т.Е.

где - случайная величина, а - постоянная.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий (записываем для двух случайных величин):

.

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий (записываем для двух случайных величин):

.

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную , то на эту же постоянную увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

.

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

.

3.6.2. Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

.

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Свойства среднего квадратического отклонения случайной величины вытекаю из свойств дисперсии.