3.5. Основные виды законов распределения непрерывной случайной величины

3.5.1. Показательный закон распределения

Показательным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

(3.12)

где постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона

F(x)

1

x

(3.13)

Рис.1. Графики функции плотности вероятности и функции распределения

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение показательного закона распределения соответственно равны:

Пример 46. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр .

Решение. Подставляя в последние две формулы, получаем, что

, .

Вероятность попадания в интервал случайной величины , распределенной по показательному закону .

Пример 47. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности при , при Найдите вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (0,13;0,7).

Решение. По условию,a=0,13, b=0,7, _. Подставляя данные в формулу , получаем, что

Пример 48. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного закона, заданного функцией распределения _.

Решение. Учитывая, что получаем, что

Пример 49. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение второго – Найдите вероятность того, что за время длительностью ч.: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

Решение.

а) вероятность отказа первого элемента:

Вероятность отказа второго элемента:

Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероятностей

б) вероятность безотказной работы первого элемента:

Вероятность безотказной работы второго элемента:

Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов:

в) вероятность того, что откажет только один элемент:

г) вероятность того, что хотя бы один элемент откажет:

3.5.2. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее функция плотности (рис.2) имеет вид: (3.14)

Рис.2. График плотности вероятности

Функция распределения (рис.3) случайной величины, равномерно распределенной на , имеет вид

(3.15)

Рис.3. График функции распределения

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины равны:

Пример 50. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка, большая 0,05.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину, которая распределена равномерно на отрезке .

Длина интервала, в котором заключены возможные значения равна . Поэтому плотность равномерного распределения будет равна .

Ошибка округления превысит 0,05, если она будет заключена в интервале .

По формуле получим, что

Пример 51. Найдите числовые характеристики случайной величины , распределенной равномерно на отрезке .

Решение. По условию задачи имеем . Следовательно,