3.3. Функция распределения. Функция плотности распределения непрерывной случайной величины

Функцией распределения называют функцию определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее т.е. .

Пример 38. Дан ряд распределения случайной величины :

	-2	1	2	4
	0,4	0,1	0,2	0,3

Составить функцию распределения и построить ее график.

Решение.

При

при

при

при

при

4

-2

1

2

Рис.1. График функции распределения

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

Для непрерывной случайной величины:

(3.9)

Пример 39. Случайная величина задана функцией распределения

Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Так как на интервале , то Следовательно,

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения

Пример 40. Дана функция распределения случайной величины :

Найдите плотность распределения .

Решение . Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до : .

Пример 41. Задана плотность вероятности случайной величины

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Искомая вероятность равна

Зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле .

Пример 42. Найдите функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение. Используем формулу .

Если , то . Следовательно, .

Если , то .

Если , то .

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице: (основное условие нормировки).

Пример 43. Случайная величина задана плотностью распределения

Найдите коэффициент .

Решение. Воспользуемся формулой .

Следовательно,

3.4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле , (3.10)

дисперсия . (3.11)

Пример 44. Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной функцией распределения

Решение. Найдем плотность распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсия

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно

Пример 45. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найдите:

Решение. 1) По основному условию нормировки . Тогда получаем . Откуда .

2) По формуле математического ожидания находим:

Дисперсия случайной величины равна:

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно:

3)

4) и связаны формулой .

Поэтому, при .

При

при .

Следовательно,