3. Графическое представление данных

Полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки , ,…, .

Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки , ,…, .

В случае непрерывного признака строят гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность частоты).

Площадь i-го частичного прямоугольника равна сумме частот i-го интервала. Следовательно, площадь гистограммы частот равна объему выборки.

Пример55. Дана таблица распределения продавцов по выработке.

Выработка продавцов	Число продавцов	Относительная частота	Накопленная относительная частота	Плотность частоты
80-100	5	0,1	0,1	5/20
100-120	10	0,2	0,3	10/20
120-140	20	0,4	0,7	20/20
140-160	10	0,2	0,9	10/20
160-180	5	0,1	1	5/20
итого	50	1		50/20

Построить полигон, гистограмму плотности частот (рис.5).

Решение.

80

160

120

140

100

180

20/20

10/20

гистограмма

полигон

х

Рис.5

Рис.5. Полигон, гистограмма плотности частот

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты)

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. 1.

4. Точечные и интервальные оценки

Средние величины. Характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения.

1. Средняя арифметическая .

Основные свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной;

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

3. или

4. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:

5. или .

6. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю: или .

7. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

8. .

9. Если ряд состоит из нескольких групп, то общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:

Структурные или порядковые средние:

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Показатели вариации:

1. Вариационный размах .

2. Среднее линейное отклонение – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической: .

3. Дисперсия .

4. Среднее квадратическое отклонение .

5. Коэффициент вариации: равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической .

Основные свойства дисперсии, аналогичные свойствам дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной равна нулю.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число к, то дисперсия увеличится (уменьшится в раз): .

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической: .

5. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии: , - межгрупповая дисперсия; - средняя арифметическая групповых дисперсий.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Опр. Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе статистику), с помощью которой судят о значении параметра : .

Оценка в отличие от оцениваемого параметра является случайной величиной.

Например, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция – среднее арифметическое наблюдаемых значений признака.

Несмещенной называют статистическую оценку (тета), математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е.

.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Пояснение. Пусть - стат. оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Беря разные выборки одного и того же объема получаем оценки , которые различны между собой. - как случайная величина, а ее значения. Если дает приближенное значение с избытком, тогда каждое найденное значение больше истинного значения . Тогда и . Если дает оценку с недостатком, то . Таким образом, использование такой оценки привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

или

Примеры оценок: выборочная дисперсия есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии; выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервалов.

Оценка будет тем точнее оценивать параметр , если , где очень маленькое.

характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Наиболее часто задают надежность равную 0,95; 0,99; 0,999.

Вероятность того, что , равна запишется или . То есть интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр с вероятностью .

Доверительным интервалом называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину . Математическое ожидание этих величин равно и среднее квадратическое отклонение .

Если случайная величина Х распределена нормально, то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям также распределена нормально.

Параметры распределения .

Пусть выполняется соотношение , с заданной надежностью .

Используя функцию Лапласа . Сделав соответствующую замену, получим .

То есть доверительный интервал покрывает неизвестный параметр , точность оценки . Число t определяется по таблице функции Лапласа . Таким образом, получаем интервал

(4.1)

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

На практике почти всегда генеральная дисперсия неизвестна.

В этом случае используется следующая формула для построения доверительного интервала:

, (4.2)

где - статистика Стьюдента с уровнем надежности и числом степеней свободы ; - смещенная оценка среднего квадратического отклонения.

Пример 56. Для контроля срока службы электроламп из большой партии было отобрано 17 электроламп. В результате испытаний оказалось, что средний срок службы отобранных ламп равен 980 ч., а среднее квадратическое отклонение их срока службы – 18 ч. Найти доверительный интервал для среднего срока службы с вероятностью 0,95.

Решение. По формуле (4.2) найдем доверительный интервал. По данным задачи . По таблице Стьюдента находим .

Тогда .

. То есть с надежностью 0,95 средний срок службы электроламп в партии заключен от 970,5 до 989,5 ч.

5. Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике (в задачах 1-12 значения параметров берутся по вариантам из таблицы 2, в 13 задаче из таблицы1)

1. В книжной лотерее разыгрывается n книг. В урне имеется N билетов. Первый подошедший к урне вынимает m билетов. Определить вероятность того, что все m билетов окажутся выигрышными.

2. В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что ее любое расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны p₁ и р₂. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

4. В тире имеется 5 различных по точности винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5,0.55,0.7,0.75 и P. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

5. Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна р. Определить вероятность того, что , сделав n бросков, он m раз попадет.

6. Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна р. Определить вероятность того, что в партии из N деталей будет ровно 3 бракованных; не более 3-х.

7. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m₁ и m₂.

8. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова; более двух.

9. Случайная величина Х задана рядом распределения

   Х1	-1	0	1
   Р1	р	1-2р	р

   1. Найти . Найти МХ, DX.

10. Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).

11. Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратичным отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.

12. Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0,01?

13. Для исследования признака генеральной совокупности по результатам наблюдений получен интервальный статистический ряд. Требуется:

1. Построить гистограмму относительных частот.

2. Интервальный ряд преобразовать в дискретный, найти эмпирическую функцию распределения и её график.

3. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .

4. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределённого признака генеральной совокупности.

Таблица 1. Данные для задачи №13

Частичные интервалы № варианта	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13
	Частоты
	1	3	8	6	4	3
	2	3	12	9	7	3
	2	6	16	11	8	6
	4	6	22	16	10	6
	6	7	27	20	14	7
	1	3	9	5	4	3
	1	4	13	8	6	4
	3	5	17	12	7	5
	3	6	25	14	10	6
	1	3	8	6	4	3

Таблица 2. Данные для задач №№1-12

№ за- дания Вариант	1			2		3		4	5			6		7			8	9	11		12
	n	N	m	r	a	p1	p2	P	n	m	p	p	N	n	m1	m2	N	p	n	N	n	m
1	9	25	6	9	4	0,7	0,9	0,9	8	3	0,2	0,001	5000	6400	3200	3280	60	0,1	1г	2г	1600	100
2	8	25	5	10	4	0,6	0,7	0,7	6	4	0,1	0,001	4000	6400	3120	3200	120	0,15	2г	4г	1600	200
3	7	25	6	10	6	0,7	0,9	0,75	7	3	0,1	0,001	3000	6400	3160	3240	180	0,45	3г	6г	1600	300
4	6	26	5	8	6	0,6	0,8	0,6	9	4	0,1	0,001	2000	6400	3200	3240	240	0,25	4г	8г	1600	400
Продолжение таблицы 2
5	5	20	3	10	8	0,7	0,8	0,65	8	4	0,2	0,001	1000	6400	3120	3280	360	0,3	5г	10г	1600	500
6	4	25	2	7	5	0,4	0,5	0,55	7	4	0,2	0,001	900	2500	1225	1250	420	0,35	6г	12г	1000	600
7	10	30	8	9	5	0,5	0,7	0,5	6	3	0,2	0,001	800	2500	1250	1275	6	0,4	7г	14г	1000	100
8	12	50	10	8	5	0,6	0,9	0,45	9	3	0,2	0,001	700	2500	1200	1250	12	0,45	8г	16г	1000	200
9	20	40	15	7	6	0,6	0,5	0,4	5	2	0,1	0,001	600	2500	1250	1300	18	0,1	9г	18г	1000	300
10	11	24	7	6	4	0,4	0,6	0,35	5	3	0,2	0,001	500	2500	1225	1275	24	0,15	10г	20г	1000	400

Литература:

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2009. – 478 с.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3: Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для втузов / под ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд. – М.: Наука, 1990. – 428 с.

4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. перераб.и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 551с.

62