4. Элементы математической статистики

   1. Основные понятия математической статистики. Выборочный метод

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, из 100000 деталей для изучения отобрано 100, N=100000, n=100.

Виды выборок:

• Повторная, отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

• Бесповторная, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование репрезентативности выборки (представительности).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности; если все объекты имеют одинаковую вероятность попадания в выборку.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, наблюдалось раз, наблюдалось раза, …, - раз, - объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

- частоты,

- относительные частоты.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант (интервалов вариант) и соответствующих им частот или относительных частот.

2. Эмпирическая функция распределения

Имеется статистическое распределение частот количественного признака Х.

Пусть

- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х;

- общее число наблюдений (объем выборки).

Относительная частота события равна .

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события .

,

где число вариант, меньших ; - объем выборки.

Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Различие между эмпирической и теоретической функциями: теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая определяет относительную частоту этого же события. При больших эти числа и мало отличаются друг от друга.

Свойства :

1. Значение эмпирической функции принадлежит отрезку ;

2. - неубывающая функция;

3. Если - наименьшая варианта, то =0 при ; если - наибольшая варианта, то =1 при .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример54. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

	2	6	10
	12	18	30
	0,2	0,3	0,5

Объем выборки равен 60.

Решение. Искомая функция распределения равна

F(x)

x

0,2

0,5

1

2

6

10

Рис.4. График функции распределения