Задача о размещении строящегося объекта

Задача может иметь несколько возможных вариантов постановки, отличающихся друг от друга количеством жилых домов и их расположением на координатной плоскости.

Рассмотрим конкретно один из вариантов этой задачи.

Имеются четыре жилых дома, расположенных в некотором микрорайоне города.

Определить местоположение объекта для строительства. Для примера объектом строительства выберем школу.

Требуется построить школу в удобном для всех жителей микрорайона месте, предполагая, что сумма расстояний от построенного объекта до всех жилых домов будет минимальным значением (рис. 1). Это значение и является целевой функцией, которое необходимо определить, используя функции среды MS Excel.

Рис. 1

Другие варианты задачи о строительстве объектов могут быть сформулированы как для различных значений количества домов, местоположения этих домов, так и для различных видов целевой функции.

Математическая постановка задачи о местоположении вновь строящегося объекта

Для математической постановки задачи следует ввести обозначения четырех координат, используя прямоугольную систему координат, в которой исходные дома и школа будут представлять отдельные точки на плоскости (рис. 2).

Координаты исходных домов могут быть записаны как координаты соответствующих точек в виде (х_i,у_i), где i Є {1, 2, 3, 4}.

Координаты для школы, которую предполагается построить, можно положить равными: (х, у). Очевидно, они служат переменными рассматриваемой задачи оптимизации, каждая из которых по своему характеру может принимать действительные значения.

В некоторой фиксированной прямоугольной системе координат значения переменных х,у могут быть как положительными, так и отрицательными. Задачу о строительстве школы можно считать задачей оптимизации без ограничений.

В качестве целевой функции данной задачи будем рассматривать сумму расстояний от искомой точки (х, у) до каждой из заданных точек (х_i,у_i), где i Є {1, 2, 3, 4}.

x₁ x₂ x x₃ x₄

Рис. 2

Расстояние от i – го дома до школы определим по формуле:

.

Общее расстояние от всех четырех домов до школы будет определяться выражением:

Таким образом, математическая постановка задачи о строительстве школы может быть записана в следующем виде:

,

где R область значений для х и у.

Поскольку целевая функция данной задачи является нелинейной, задача о строительстве школы относится к классу задач нелинейного программирования без ограничений.

Решение задачи о местоположении строящегося объекта с помощью ms excel

Для решения данной задачи с помощью программы МS Ехсеl создадим новый лист. Переименуем его, например, «Задача о строительстве школе». Выполним подготовительный этап для решения, т.е. создадим макет листа (рис. 3).

Рис. 3

В ячейке G12 будет помещено значение целевой функции. Формула для ее вычисления:

=СУММ(B7:B10).

В ячейке B7 будет введена формула:

=КОРЕНЬ(($B$12-B2)^2+($D$12-D2)^2)

Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска решения, для чего необходимо выполнить операцию главного меню Сервис | Поиск решения (рис 4).

Рис. 4

В поле с именем Установить целевую ячейку ввести абсолютный адрес ячейки $G$12- значение целевой функции, а в поле с именем Изменяя ячейки ввести абсолютный адрес ячеек $B$12:$D$12 (рис. 4). Поля с ограничениями можно оставить пустыми, поскольку целевая функция является выпуклой на всем множестве допустимых значений. Параметры поиска решения можно оставить без изменения. (рис. 5).

Параметры поиска решения задаются в каждом случае отдельно.

Результат выполнения задачи о строительстве школы вместе с графическим представлением показан ниже (рис. 6).

Рис. 5

Рис .6

Графическое представление выполнено с применением мастера диаграмм, используя (рис. 7) Стандартные –Точечная, не забыв при этом указать, т.е. выделить данные для графика. Применение и использование Мастер диаграмм был изучен вами при выполнении контрольной работы 2 (литература: [2], [3]).

Рис. 7

Достоинство использования MS Excel для решения поставленной задачи наглядно продемонстрировано в данном примере.