Простые и сложные проценты.

Процентными деньгами или процентом называется абсолютная величина дохода от предоставленных в долг финансовых ресурсов.

Процентная ставка i – это отношение абсолютной суммы процентных денег, выплачиваемых в единицу времени, к величине ссуды. Процентная ставка чаще всего выражается в процентах.

Проценты могут выплачиваться двумя способами:

1) по мере их начисления

2) присоединяться к основной сумме долга (капитализация процентов).

Наращивание начальной суммы денег – это увеличение начальной суммы денег в результате начисления процентов.

Процентные ставки классифицируются по различным признакам:

По методу начисления процентов различают:

1) Процентные ставки. Они используются в том случае, если за базу для начисления процентов берётся первоначальная стоимость займа. Проценты, полученные по процентной ставке (ставке наращения), называются декурсивными.

2). Учётные ставки. Они используются в том случае, если при начислении процентов за основу берётся сумма, которая уплачивается должником, и проценты удерживаются при выдаче ссуды. Проценты, полученные по учётной ставке, называются также антисипативными.

По базе начисления процентов выделяют:

1) Проценты, начисленные на основе постоянной базы;

2) Проценты, начисленные на основе последовательно изменяющейся базы.

Во втором случае базой считается сумма, полученная на предыдущем этапе наращивания, или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты.

В большинстве случаев процентная ставка указывается в договоре из расчета на год. Если срок сделки составляет менее одного года, необходимо рассчитать, какая часть годового процента должна быть уплачена. Если при расчетах принимают число дней в году равным 360 (12 месяцев по 30 дней), то получают обыкновенные (коммерческие) проценты. Если же число дней в году принимают равным действительному числу дней в году – 365, 366, то получают точные проценты.

Процентные деньги (J) за полученную ссуду определяются на основе размера ссуды (P), процентной ставки (i) и времени пользования ссудой (n), которое измеряется в годах или долях года.

Если база для начисления процентов является постоянной в течение всего времени пользования ссудой (n), то при расчете процентных денег используются простые проценты

J₁ = P * i – за первый год;

J₂ = J₁ + P * i = Р* i *2 – за второй год;

J_n = J_n-1 + Р * i = P * i * n – за n лет.

В этом случае сумма, которую обязан заплатить должник с наращенными за весь период процентами, т.е. наращенная сумма долга (S), определяется по формуле простых процентов.

S = Р * (1 + in)

Данная формула называется формулой простых процентов. При сроке пользования ссудой менее 1 года:

При сроке пользования ссудой менее одного года

n = д /Д,

где д – это число дней ссуды; Д – число дней в году ( 360, 365, 366)

Чаще всего простые проценты применяются при заключении сделок до одного года. Сложные проценты применяются при долгосрочных финансовых операциях сроком более 1, 3, 5 и т.д. лет. В случае сложных процентов процентная сумма за период n -лет рассчитывается следующим образом:

J = S – P = P * [(1 + i)ⁿ - 1]

Если база для начисления процентов периодически меняется в связи с присоединением суммы начисленных процентов к первоначальной сумме долга в течение пользования ссудой, то при расчетах используются сложные проценты:

S₁ = Р + Р * i = Р * (1 + i ) — за 1-й год;

S₂ = S₁ * (l + i) = Р * (1 + i) * (1 + i) = Р * (1 + i )² — за 2 года;

S_n = Р * (1 + i)ⁿ — за n лет.

Последняя формула называется формулой сложных процентов.

Сложные проценты применяются при долгосрочных финансовых операциях сроком более 1, 3, 5 и т.д. лет.

В случае сложных процентов процентная сумма J за период n лет рассчитывается следующим образом:

J = S - P = P * [(l+ i)ⁿ -1]

В зависимости от базы расчета процентов (постоянной или периодически изменяющейся) различают ставки наращивания (декурсивные) и учетные (антисипативные) ставки:

- - декурсивная ставка; где S-P=J – процентная сумма за n лет;

- процентная сумма за год

-антисипативная ставка.

Обе ставки используются в случае как простых, так и сложных процентов. При увеличении срока пользования ссудой п в случае сложных процентов различие между декурсивной и антисипативной ставками увеличивается быстрее, чем при простых процентах.

Зачастую в финансовой практике необходимо решить задачу об определении полученной суммы ссуды Р по известной наращенной сумме S и времени наращения п. В этом случае разность S - Р = Д называется дисконтом, а процесс решения задачи называется дисконтированием.

Различают два вида дисконтирования — математическое и банковское (коммерческое). Дисконтирование с использованием простых процентов:

1) математическое дисконтирование осуществляется по декурсивной ставке:

2) коммерческое дисконтирование осуществляется по антисипативной ставке:

P = S * (l - nd).