59. Случайные колебания и корреляционные функции.

Случайные колебания – это колебания, мгновенные значения которых в любые моменты времени неизвестны и не могут быть предсказаны с вероятностью, равной единице. Практически все реальные случайные колебания или большинство из них есть хаотическая функция времени. Именно случайные колебания лежат в основе информации. Случайным сигналом является напряжение электрического тока, полученное в результате преобразования речи, музыки и т.д. Кроме информационных сигналов в пространстве происходят электромагнитные процессы – помехи. Борьба с помехами – одна из главных проблем радиотехники. Возможны два сочетания полезного сигнала и помехи: 1. аддитивная смесь сигнала и помехи, когда они линейно суммируются; 2. мультипликативная смесь, когда сигнал перемножается с помехой. Помехи, как правило, переносят дезинформацию. Для анализа случайных сигналов используют методы статистической радиотехники, которая базируется на теории вероятностей и теории случайных процессов. Самое многое, что можно знать заранее о случайном сигнале – это вероятность, с которой она в будущем может принять тот или иной вид из множества возможных. Случайные сигналы можно описать также совокупностью неслучайных численных характеристик, постоянных или меняющихся во времени (среднее значение случайной функции, среднеквадратическое отклонение, дисперсия; корреляционная функция, которая выражает статистическую связь между мгновенными значениями колебания, взятыми в 2 произвольных момента времени).

Корреляционные функции. Математическое ожидание и дисперсия – важные характеристики случайных функций. Но для описания некоторых особенностей случайных функций этих характеристик недостаточно. Рассмотрим 2 случайные функции X₁(t) и X₂(t) в моменты времени t₁ – t₂.

Функции имеют почти одинаковые математические ожидания и дисперсии, но характер этих случайных величин отличен. Для 1-ой характерно плавное изменение и если она в точке t₁ приняла значение меньше среднего, то вероятно, что и в точке t₂ она примет значение меньше среднего. Напротив, для случайной функции X₂(t) характерно быстрое затухание зависимости M₂[X₂(t)] её значениями, по мере увеличения интервала t₁ – t₂. Это говорит о том, что внутренняя структура этих процессов различна, но эти различия не обнаруживаются ни математическим ожиданием, ни дисперсией. Для её описания вводят специальную характеристику – корреляционная функция. Она характеризует степень зависимости между сечениями случайных функций относящимся к различным моментам времени. Автокорреляционной функцией случайного эргодического процесса называется среднее по времени от произведения по X:

X(t)*X(t+τ),

где τ – промежуток между соседними аргументами случайной функции.

Для стационарного процесса вид автокорреляционной функции не зависит от участка функции X(t) выбранного для нахождения корреляционной функции:

R_x(τ) = lim

Корреляционная функция – это чётная функция от τ, поэтому на границах она симметрична относительно оси ординат. Корреляционная функция – убывающая и чем слабее связь между предыдущими и последующими значениями, тем быстрее убывает корреляционная функция. Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями называют чистым случайным процессом или белым шумом.