Решение

Потребности заводов в песке (спрос) составляют 300 + 290 + 320 = 910 т, в то время как мощности карьеров позволяют добывать 210+170 + 270 + 360 = 1010 т. Предложение превышает спрос на 100 т. Следовательно, эта задача незамкнутая.

Для приведения ее к стандартному виду (задаче замкнутого типа) введем дополнительно фиктивного потребителя, спрос которого будет равен 100 т, а стоимости перевозок от карьеров до фиктивного потребителя примем равными нулю, так как ре­ально никаких перевозок по этому маршруту выполняться не будет. В итоге получаем замкнутую задачу, эквивалентную исход­ной (табл. 6.3).

Табл. 6.3 - Замкнутая задача, эквивалентная исход­ной

Карьеры	Заводы ЖБИ			Фиктивный потребитель	Предложение
	№ 1	№2	№3	№4
1	9	5	7	0	210
2	7	б	8	0	170
3	6	7	8	0	270
4	5	4	7	0	360
Спрос	300	290	320	100	1010= 1010

Обозначим через X_ij количество песка (в тоннах), которое будет вывезено из карьера i (i = 1, 2, 3, 4) и доставлено на завод j (j = 1, 2, 3, 4). Тогда искомый план перевозок, представленный в табл. 6.4, состоит из 16 управляемых переменных.

Табл. 6.4 –Искомый план перевозок

Карьеры	Заводы ЖБИ			Фиктивный потребитель	Предложение
	№ 1	№2	№3	№4
1	X11	X12	X13	X14	210
2	X21	X22	X23	X24	170
3	X31	X32	X33	X34	270
4	X41	X42	X43	X44	360
Спрос	300	290	320	700	1010= 1010

Совокупные транспортные издержки на перевозку составят

(6.8)

Заметим, что введение фиктивного потребителя с нулевыми стоимостями перевозок никак не влияет на целевую функцию (6.8) в силу того, что коэффициенты при X₁₄, X₂₄, X₃₄, X₄₄ равны нулю.

Ограничения, вытекающие из необходимости удовлетворения потребностей заводов в песке:

(6.9)

Ограничения, связанные с необходимостью полностью задей­ствовать мощности карьеров и вывезти весь имеющийся запас песка:

(6.10)

Все переменные неотрицательны:

(6.11)

В результате мы получили замкнутую транспортную задачу линейного программирования: необходимо минимизировать це­левую функцию (6.8) при условии, что на переменные наложены ограничения (6.9) - (6.11).

Решение задачи в Excel показано на рис. 6.4 - 6.6.

Рис. 6.4 - Табличное представление задачи в Excel

Рис. 6.5 - Окно надстройки «Поиск решения»

Рис. 6.6 - Найденный «Поиском решения» оптимальный план перевозок

1. Оптимальный план перевозок, при котором будут обеспече­ны минимальные транспортные издержки, следующий:

• из карьера № 1 доставляется 210 т на ЖБИ № 3;

• из карьера № 2 доставляется 110 т на ЖБИ № 3;

• из карьера № 3 доставляется 230 т на ЖБИ № 1;

• из карьера №4 доставляется 70т на завод №1 и 290т на завод №2.

2. Невостребованными окажутся 60 т песка на карьере № 2 и 40 т песка на карьере № 3.

3. Минимальные совокупные транспортные издержки при оп­тимальном плане перевозок составят 5240 у.е.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Компания, занимающаяся сбором и переработкой металлолома, имеет три промышленные площадки. Их мощности таковы, что они могут перерабатывать и поставлять металлургическим пред­приятиям соответственно 240, 40 и ПО тонн товарного металлоло­ма в месяц. В настоящее время у компании имеются заявки на следующий месяц от четырех металлургических предприятий на поставку 90, 190, 40 и 130 тонн соответственно. Стоимости достав­ки 1 тонны металлолома (в у.е.) от промплощадок до металлурги­ческих заводов известны и приведены в таблице:

Промплощадки	Потребители (заводы)				Предложение металлолома (т)
	1	2	3	4
1	7	13	9	8	240
2	14	8	7	10	40
3	3	15	20	6	110
Спрос на металлолом (т)	90	190	40	130	Спрос превышает предложе­ние на 60 т: 450 > 390

Требуется используя с помощью надстройки «Поиск решения» МS Excel:

1) составить оптимальный план перевозок (доставки) металло­лома потребителям — такой, при котором суммарная стои­мость транспортных издержек будет минимальной;

2) выяснить, какое количество металлолома и на какой из за­водов окажется недопоставленным при оптимальном плане перевозок;

3) установить размер минимальных транспортных издержек.