Решение

Для формализации задачи (записи в математической форме) введем следующие обозначения:

• С_ij — удельная стоимость перевозки 1 тонны груза от склада № i к потребителю Пj.

• X_ij — количество груза (в тоннах), которое будет вывезено со склада № i и доставлено потребителю Пj. Тогда план перево­зок можно представить в виде матрицы (таблицы) вида

• Запасы товара на складах обозначим через а_i, а потребности (заявки) потребителей — через b_j, тогда:

С учетом введенных обозначений задача нахождения оптималь­ного плана перевозок формулируется следующим образом. Требу­ется минимизировать суммарные транспортные затраты на пере­возку грузов

или

(6.4)

При этом на переменные наложены ограничения, обусловленные необходимостью вывоза всех запасов товара со складов:

(6.5)

Кроме того, заявки всех потребителей должны быть удовлетво­рены полностью, т. е.:

(6.6)

Очевидно также, что искомые переменные (объемы перевози­мого груза) должны удовлетворять условиям неотрицательности

(6.7)

Таким образом, получена задача линейного программирования: необходимо минимизировать целевую функцию (6.4) при условии, что на переменные наложены ограничения (6.5) - (6.7).

Отличие подобных задач, называемых транспортными, от стан­дартных задач линейного программирования заключается в том, что: 1) все ограничения заданы в виде равенств; 2) все коэффициен­ты при неизвестных в уравнениях системы ограничений равны 1; 3) число искомых переменных велико и всегда превышает число урав­нений в системе ограничений. Так, в данной задаче число искомых переменных равно 9 при числе ограничительных уравнений, равном 6. Последнее обстоятельство обуславливает наличие среди плана перевозок части нулевых решений (часть из X_ij всегда будет равна нулю).

Для решения транспортных задач используют как стандартные методы линейного программирования (симплекс-метод), так и специальные вычислительные алгоритмы. Последние более эффективны с вычислительной точки зрения, однако область их применения ограничена только моделями типа (6.4) - (6.7) при соблюдении условия (6.1).

В данной задаче запасы всех складов в сумме оказались равны­ми заявкам потребителей (спрос равен предложению): 90+400+110=140+300+160 = 600. Следовательно, это замкнутая задача.

Рассмотрим особенности ее решения в Excel (с помощью надстройки «Поиск решения»).

1. Исходную информацию сводят в единую таблицу № 1 и размещают на рабочем листе (рис. 6.1).

Рис. 6.1-Табличное представление задачи в Excel

2. Ниже основной размещают аналогичную таблицу № 2, но с пустыми ячейками С12:Е14, в которых будут вычисляться значения X_ij.

3. Вычисление целевой функции проводят в два этапа. Вна­чале в ячейках Н4:Н6 с помощью стандартной функции СУММПРОИЗВ из категории «Математические» вычисля­ют сумму попарных произведений цены перевозки единицы груза С_ij от i-го склада на количество груза X_ij, поставляемого j-му потребителю. Затем в ячейке Н7 вычисляют сумму этих промежуточных расходов (рис. 6.1), т.е. значение целевой функции (6.4), которую необходимо минимизировать.

4. Для удобства записи ограничений в диалоговом окне «Поиск решения» исходные ограничения (6.5) - (6.7) записывают в несколько преобразованном виде, а именно:

На рабочем листе Excel в ячейках Н12:Н14 записывают ограничения (6.5) на количество груза, вывозимого из каж­дого склада; в ячейках С17:Е17 — ограничения (6.6) на ко­личество груза, поставляемого каждому потребителю.

5. После вызова из пункта меню «Сервис» надстройки «Поиск решения» в открывшееся диалоговое окно вводят необходи­мую информацию (рис. 6.2).

Рис. 6.2-Окно «Поиск решения»

6. Результаты найденного оптимального плана перевозок по­лучают в ячейках С12:Е14, а соответствующие ему минималь­ные транспортные издержки — в ячейке Н7 (рис. 6.3).

Рис. 6.3-Найденное оптимальное решение

Оптимальный план перевозок — объемы груза, вывозимого из i-гo склада и доставляемого j-му потребителю – имеет вид:

Минимальные транспортные издержки составят 1280 у.е.

3. НЕЗАМКНУТАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА С ИЗБЫТКОМ

Задача 2. Компания, занимающаяся добычей песка и доставкой его собствен­ным транспортом к потребителям, разрабатывает 4 песчаных карь­ера. Недельная производительность карьеров 210, 170, 270 и 360 тонн. Песок направляется на три завода железобетонных изде­лий (ЖБИ). Недельные потребности заводов в песке составляют 300, 290 и 320 тонн. Транспортные затраты С_ij (в условных денежных единицах — у.е.), связанные с доставкой 1 тонны песка от карьеров до заводов, известны и приведены в табл. 6.2.

Табл. 6.2- Исходные данные

Песчаные карьеры	Заводы ЖБИ			Производительность карьеров (предложение)
	№1	№2	№3
1	9	5	7	210
2	7	6	8	170
3	6	7	8	270
4	5	4	7	360
Потребности заводов (спрос)	300	290	320	Предложение превышает спрос на 100 т: 1010>910

Требуется:

1) составить такой план перевозок песка из карьеров на заводы, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны;

2) выяснить, какое количество песка и на каких карьерах ока­жется невостребованным;

3) установить размер минимальных транспортных издержек.