Задачи к ГОСу

ЗАДАЧИ

по курсу “МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ, АНАЛИЗА И ДИАГНОСТИКИ НАНОЧАСТИЦ И НАНОМАТЕРИАЛОВ»

1. Найти степень упаковки простой кубической решетки

Решение

Каркас ячейки имеет форму куба; на элементарную ячейку, объем которой есть , где - постоянная решетки, приходится один атом. При плотной упаковке твердых шаров на атом приходится объем . Следовательно, степень упаковки есть .

2. Найти степень упаковки объемноцентрированной кубической решетки

Решение

Каркас ячейки имеет форму куба; в центр куба добавлен один атом; таким образом в ячейке объемом имеется два атома (где - постоянная решетки). При плотной упаковке твердых шаров их радиус определяется из условия , т.е. (- длина диагонали куба). Отсюда получаем степень упаковки .

3. Найти степень упаковки гранецентрированной кубической решетки

Решение

Каркас ячейки кубический, но в центре каждой грани добавлен атом. В ячейке объемом имеются четыре атома (где - постоянная решетки). При плотной упаковке радиус твердых сфер находится как , т.е. или равно длине диагонали грани. Таким образом, степень упаковки определяется как .

4. Найти степень упаковки гексагональной кубической решетки

Решение

Каркас ячейки имеет гексагональное основание в базисной плоскоскти, соответствующее плотной упаковке твердых шаров. Следующая атомная плоскость упакована аналогично, но сдвинута на так, что ее атомы располагаются между атомами первой плоскости; третья плоскость упакована так же, как вторая, но ее атомы лежат над атомами первой, и т.д. Таким образом, гексагональная плотноупакованная (ГПУ) структура состоит из двух простых гексагональных решеток. Идеальный случай такой упаковки, когда все 12 соседних атомов расположены на равном расстоянии. Степень упаковки в идеальном случае (здесь ).

5. Определить в простой кубической решетке угол между направлениями:

а)и ; б)и ; в) и .

Решение

Угол между направлениями и равен

Поэтому

а)

б)

в)

6. В условиях отсутствия астигматизма и хроматической абберации (учитывается только размытие Эйри и сферическая абберация) найти оптимальный телесный угол обзора линзы. Принять, что общее размытие луча определяется соотношением , энергия электронов E=100 кэВ, а коэффициент сферической абберации мм.

Решение

Находим сначала длину волны де Бройля . Задаем кг, Кл, Дж. Поскольку Дж·сек, то нм. Откуда получаем, поскольку , , то или . Отсюда получаем мрад (0,855⁰). Подставляя в выражение для оптимальное значении , получаем = 0,5 нм.

7. Расстояние между соседними плоскостями в NaCl равно 2,820 Å. Для пучка рентгеновских лучей, направленного на поверхность кристалла, брэгговское отражение первого порядка наблюдается под углом скольжения 8⁰53'. Найти длину волны рентгеновского излучения и угол, соответствующий брэгговскому отражению второго порядка.

Решение

Условие брэгговского отражения

где - расстояние между плоскостями, - угол скольжения, - порядок отражения, - длина волны. Для =1 (отражение первого порядка) имеем

Угол, соответствующий =2 удовлетворяет условию

8. При нормальном падении пучка электронов с энергией 50 эВ на кристалл никеля угол брэгговского отражения составлял 50⁰, а постоянная решетки кристалла – 2,15 А⁰. Найти де бройлевскую длину волны электронов.

Решение

Закон Брэгга при нормальном падении

- угол скольжения, или угол брэгговского отражения составлет 50⁰, откуда имеем

При =1 имеем