Пример расчета ргр 2 Расчет статически определимой балки на прочность

Для балки, изображённой на рис.1,загруженной сосредоточенными силами Р₁=20кН, Р₂=40кН, равномерно распределённой нагрузкой q=10кН/м и сосредоточенным моментом М_О=30кН/м требуется:

Рис. 1. Схема нагружения балки

1. начертить ее в масштабе;

2. определить реакции опор;

3. построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил;

4. из условия прочности по нормальным напряжениям [] =150 МПа определить размеры круглого сплошного и двутаврового сечений;

5. сравнить массы полученных балок и выбрать вариант с наименьшей материалоемкостью;

6. проверить выбранные сечения на касательные напряжения при []=75 МПа;

Определение опорных реакций

Рис. 2. Схема к определению опорных реакций

Реакции R_A и R_B в точках закрепления балки к основанию (точка А и В).

Равнодействующая R равномерно распределённой нагрузки q (рис.2) определится:

R=q  6

Равнодействующая приложена в середине участка: т.е. в трёх метрах от левого края.

Составим уравнение статики:

кН

Проверка

Построение эпюр поперечной силы q и изгибающейго момента м

Рис. 3. Схема к построению эпюр Q и M

Разбиваем балку на участки, для чего проводим границы участков через точки приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов, через начало и конец распределённой нагрузки. Таких границ оказывается пять, между ними расположено 4 участка.

Делаем сечение I-I и рассматриваем равновесные части балки длиной «Х» левее этого сечения (рис.4). К этой части приложена сосредоточенная сила Р₁ и часть распределенной нагрузки q лежащая на длине «Х» метров.

П

Рис. 4

о сделанному сечению будут действовать внутренние силы, создающую поперечную (срезающую) силу Q₁ и изгибающий момент M_I. Составим уравнение статики для рассматриваемого участка.

Вместо равномерно распределенной нагрузки можно приложить в середине участка ее равнодействующую R₁ равную произведению нагрузки приходящейся на 1 погонный метр (q) на длину участка на которой она приложена (X₁) R=q  X₁.

Из полученного можно сделать вывод, что поперечная сила Q численно равна алгебраической сумме внешних поперечных нагрузок (Р₁ и R₁) лежащих по одну сторону от сечения (I-I).Внешние поперечные нагрузки направленные вверх (Р₁) входят в уравнение Q со знаком плюс, а вниз (R₁) – со знаком минус

Полученное уравнение для Q является прямолинейной зависимостью. Прямую строят по двум точкам. Значение X₁ задаём в начале X₁=0 и в конце участка Х₁=4 м.

X₁=0; Q₁=20-10  0=20(кН)

Х₁=4м; Q₁=20-10  4=-20(кН)

Для определения изгибающего момента в первом сечении M_I составляем уравнение статики – сумму моментов относительно центра тяжести первого сечения.

;

Из полученного можно сделать вывод, что изгибающий момент М численно равен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок (Р₁ и R₁) лежащих по одну сторону от сечения (I-I).Моменты берутся относительно центра тяжести проведённого сечения. Внешние нагрузки действующие относительно центра тяжести проведённого сечения по часовой стрелке входят в уравнение М со знаком плюс, а против часовой стрелки со знаком минус.

После подстановки значений Р₁ и q получим:.

M_I=20х-5х² уравнение параболы.

При х=0 М=0; При х=4м М=20  4 – 5  4²=0.

Анализируем выражение изгибающего момента на экстремум

.

Вычисляем значения момента в сечении при х=2м.

М=20  2-5²=20 (кНм).

Второй участок

Р

Рис.5

ассмотрим часть балки левее сечения II-II (рис. 5)

Величина равнодействующей R_II распределённой нагрузки q будет равна:

R_1I=q(4+x).

Расстояние от вектора R_1l до центра тяжести проведённого сечения равно (4+х)/2.

.

Q_II=P₁+R_A-R₂=20+50-10(4+X₂) =30-10 X₂;

X₂=0; Q_II=30 кН.

X₂=2 м; Q_II=30-10  2=10кН.

M_II=P₁  (4+X₂) +R_A  X₂ –

- R₂

X₂=0; M_II=0

X₂=2м; M_II=30  2-5  22= 40(кНм).

Третий участок

Рассмотрим часть балки левее третьего сечения III-III (рис. 6)

Рис. 6.

Левее сечения III-III лежит вся распределённая нагрузка, равнодействующая которой R=q  6. Расстояние от равнодействующей R до сечения III-III будет равно 3+х

Q_III= P₁+R_A-R₃=20+50-60=10 кН

M_III=P₁  (4+2+X₃)+R_A  (2+X₃)-R  (3+X₃)=

=120+20  X₃+100+50  X₃-180-60  X₃=40+10  X – прямая линия

X₂=0; M=40 (кНм) X₂=2м; М=40+10  2=60 (кНм).

Четвертый участок

Рассмотрим часть балки правее сечения IV-IV (рис.7).В этом случае правило знаков при составлении уравнений для Q и M меняется на противоположное.

Рис. 7

Q_VI=-R_B=-30кН

M_IV=-M₀+R_В  X=30+30  X-прямая линия

X=0, M=30(кНм); X=1м; М=30+30  1=60 (кНм).

Рис. 8. Эпюры поперечных сил Q и изгибающего момента М

Подбор размеров поперечного сечения

Находим на эпюре моментов наибольшее значение изгибающего момента (рис. 8).

|Mmax|=60 кН  м. Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, находим необходимое значение осевого момента сопротивления.

Подбор номера двутавра

По справочной таблице подбираем N₀ профиля имеющее близкое значение к 400см³.

Соответствует №27(а) у которого W_x=407 cм³. Площадь А_д=43,2см²

Подбор диаметра круглого сечения.

Осевой момент инерции круга .

Осевой момент сопротивления

Рис. 9.

Приравняв , определим радиус

Диаметр круга 16 см. Площадь круга

Соотношение масс балок:

.