4. Геометрия модели и граничные условия.

Предлагается рассмотреть одномерную постановку задачи о процессах токопрохождения в плоском конденсаторе. Модель представляет собой линию с длиной L₀, и со следующими граничными условиями. Левая граница: потенциал , инжекция положительных ионов , условие мгновенной гибели отрицательных ионов (10). Правая граница: потенциал — 0 В, инжекция отрицательных ионов , условие мгновенной гибели положительных ионов (10).

Свойства жидкости:

• относительная диэлектрическая проницаемость ;

• подвижность ионов b = 1∙10⁻⁸ м²/(В∙с);

• коэффициент диффузии определяется из соотношения Эйнштейна и равняется D = 2.5∙10⁻¹⁰ м²/с, это значение может варьироваться для получения лучшей численной сходимости;

• коэффициент рекомбинации определяется согласно соотношению Ланжевена; в отдельных случаях это значение может варьироваться с целью исследования влияния рекомбинации;

• начальная проводимость является параметром исследования и варьируется в некотором диапазоне, базовое значение ;

• интенсивность диссоциации определяется на основе начальной проводимости (13);

• начальная плотность заряда определяется по низковольтной проводимости.

Размер межэлектродного промежутка — 0.01 м.

5. Особенности моделирования.

Расчёт системы уравнений (1–5) производится в программе COMSOL Multiphysics 3.5 методом конечных элементов. Используются следующие модули:

1. Уравнение Пуассона (COMSOL Multiphysics > PDE Modes > Classical PDEs > Poisson’s Equation):

2. Уравнение Нернста-Планка без электронейтральности (Chemical Engineering Module > Mass Transport > Nernst-Planck without Electroneutrality), переходная задача:

Модуль с уравнением Нернста-Планка добавляется для описания переноса каждого сорта ионов, поэтому в данном случае требуется загрузить этот модуль дважды.

Для уравнения Пуассона задаются следующие объёмные нагрузки и свойства:

Коэффициент “c” соответствует абсолютной диэлектрической проницаемости; в качестве функции источника “f” задаётся суммарная объёмная плотность заряда (где rho1, rho2 — переменные из уравнения Нернста-Планка, z1, z2 — соответствуют знаку валентности ионов).

Для уравнения Нернста-Планка задаются следующие объёмные нагрузки и свойства:

В поле “V” указывается имя переменной, соответствующей потенциалу в уравнении Пуассона; в остальных полях — задаются свойства жидкости и параметры функции источника (в единицах системы СИ).

Если решается задача с ненулевой проводимостью, то во вкладке “Init” следует задать значение начальной парциальной плотности заряда:

При задании граничных условий для уравнения Нернста-Планка выбирается тип условия “Flux”, и в соответствующие поля вводятся условие рождения заряда (например, N₀: A₁*E+B₁) и условие гибели заряда, которое в COMSOL записывается следующим образом: “-ntflux_rho1_chekf” (где “rho1” — имя переменной, соответствующей парциальной плотности заряда, “chekf” — имя выбранного блока уравнений).

В COMSOL уравнение Нернста-Планка записано в форме, отличной от уравнений (3)–(4) и имеет следующий вид:

 

Чтобы это уравнение и все переменные в нём соответствовали бы классической записи, необходимо задать значение переменной F равным 1, а под величиной z понимать не валентность, а только её знак (это определяется тем, что задано в объёмных нагрузках соответствующего уравнения). Значение F можно задать в меню Physics > Scalar Variables… .

В результате, при таком способе задания всех переменных и констант вычисляемые значения парциальных плотностей заряда будут иметь размерность Кл/м³, несмотря на то что в COMSOL будет отображаться размерность моль/м³; все остальные величины также будут иметь размерность в единицах системы СИ.

Для задания свойств жидкости рекомендуется использовать список констант (Options > Constants). В них следует задать как непосредственно заданные значения ( , , , и другие), так и вычисляемые параметры ( , и другие).

Конечно-элементная сетка должна была построена с учётом особенностей распределения искомых функций. И если в результате решения задачи получаются очень резкие фронты заряда или очень тонкие приэлектродные слои, то размер элементов должен быть уменьшен, и задача должна быть перерешена заново.

Следует использовать следующие настройки решателя:

Тип решателя — переходной (“Time dependent”), относительная точность — не более 10⁻³, абсолютная точность — не менее чем на три порядка меньше характерных значений каждой переменной (при этом сами характерные значения переменных нужно либо оценить теоретически, либо получить в результате пробного расчёта). Моменты времени для сохранения решения следует выбрать так, чтобы получить не менее 20 наборов на протяжении переходного процесса (длительность переходного процесса следует оценить теоретически). Рекомендуется использовать возможность отображения результатов в течение расчёта (Plot while solving > Time steps from solver).

Настройки переходного решателя:

Метод экстраполяции решения для перехода к следующему временному шагу — “BDF”, максимальный порядок интегрирования BDF-метода — рекомендуется использовать не более 3 (но для получения более резких фронтов или для устранения осцилляций на фронте могут потребоваться другие значения — 2 или 4). В настройках временных шагов решателя рекомендуется выбрать значение “Strict”, тогда для каждого сохраняемого временного шага будут производиться отдельные вычисления (помимо промежуточных шагов). В некоторых задачах может потребоваться задание начального и максимального временного шагов (“Initial time step” и “Maximum time step”).

В некоторых вариантах задач перед началом решения потребуется произвести расчёт электростатики. Для этого нужно в меню Solve > Solver Manager установить следующие настройки:

Выбрать в строке “Initial value” пункт “Initial value expression”, а во вкладке “Solve For” выбрать только уравнение Пуассона. После этого нажать кнопку “Solve”. Далее установить следующие настройки:

В строке “Initial value” пункт “Initial value expression evaluated using current solution” (в момент времени “Solution at time” 0), а во вкладке “Solve For” выбрать все уравнения. Далее для получения решения использовать рестарт (Solve > Restart).