2. Зведення матричних ігор до задач лінійного програмування

Теорія ігор перебуває в тісному зв'язку із лінійним програмуванням, бо кожна скінченна гра двох осіб із нульовою сумою може бути представлена як задача лінійного програмування і розв’язана симплексним методом

Нехай маємо гру двох осіб, задану платіжною матрицею

Складемо математичну модель для першого гравця, виходячи із чистих стратегій другого гравця: max L (х) = ν за обмежень:

: p₁+ p₂+…+ p_т =1

Математичну модель можна спростити, розділивши всі (п + 1) обмеження на ν. Це можливо при ν ≠ 0. Для ν = 0 потрібно додати будь-яке додатне число до всіх елементів платіжної матриці, що гарантує позитивність значення ціни модифікованої гри. Дійсне значення ціни гри отримується відніманням з модифікованого значення ціни цього додатного числа. Якщо v < 0, то треба змінити знаки нерівностей. За умови ν > 0, систему обмежень можна записати:

: p₁ / ν + p₂ / ν +…+ p_т / ν = 1/ ν

Замінюючи X_і = р_і / ν і якщо ν → max, то 1 / ν → min, одержимо задачу лінійного програмування виду : L(X) =X₁ + Х₂ + ... + Хт → min

: Х₁+ Х₂+…+ Х_т =1, X_i 0, i = 1,..,m

Аналогічно, виходячи із чистих стратегій першого гравця або за правилами складання двоїстих задач, приймаючи математичну модель гри першого гравця як вихідну, математична модель задачі другого гравця записується у вигляді

S(Y) = Y₁+ Y₂ +...+ Yп → max при обмеженнях:

a₁₁·Y₁ + a₁₂Y₂ + a₁₃·Y₃ +…+ a_1n·Y_n ≤ 1

a₂₁·Y₁ + a₂₂·Y₂ + a₂₃·Y₃ +…+ a_2n·Y_n ≤ 1_,

………………………………………………

a_m1Y₁ + a_m2Y₂ + a_m3·Y₃ +…+ a_mn·Y_n ≤ 1_.

Y₁+ Y₂+…+ Y_n =1, Y_j 0, j = 1,.., n

де L(X) _min = S(Y) _max = 1/ν

Приклад 1. Торговельна фірма розробила декілька варіантів плану продажу товарів на майбутньому ярмарку з урахуванням мінливої кон'юнктури ринку й попиту покупців. Отримані від їхніх можливих комбінацій показники доходу представлені в табл..

План продажу	Величина доходу, гр. од.
	Д1	Д2	Д3
П1	8	І	2
П2	2	8	4
П3	1	2	8

Визначити оптимальний план продажу товарів.

Розв’язання

Маємо гру з природою: фірма – зовнішнє середовище.

Позначимо ймовірність застосування торговельною фірмою стратегії П₁- р_1, стратегії П₂ - р₂, П₃ - р₃. Імовірність використання стратегії Д₁ – q_1, стратегії Д₂ - q₂, Д₃ - q_3.

Для першого гравця (торговельної фірми) математична модель задачі лінійного програмування має вигляд L(X) =X₁ + Х₂ + Х₃ → min

за обмежень:

де X_і = р_{і /} v 0.

Для другого гравця (кон'юнктури ринку й попиту покупців) математична модель завдання має вигляд S(Y) = Y₁+ Y₂ + Y3 → max

8Y₁ + 1Y₂ + 2·Y₃ ≤ 1

2Y₁ + 8Y₂ + 4 Y₃ ≤ 1_,

1Y₁ + 2Y₂ + 8 Y₃ ≤ 1_.

Знайдемо розв'язок задачі лінійного програмування для другого гравця симплекс-методом.

Б	Сб	План	1	1	1	0	0	0
			Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
Y1	1	1/14	1	0	0	1/7	-1/14	0
Y2	1	11/196	0	1	0	-3/98	31/196	-1/14
Y3	1	5/49	0	0	1	-1/98	-3/98	1/7
S(Y)=45/196			0	0	0	5/49	11/196	1/14

Остання симплекс-таблиця має вигляд:

Із таблиці маємо: Y^* = (1/14, 11/196, 5/49),

S (Y^*) = 45/196. Ціна гри при цьому становитиме: ν = 1/ S (Y^*) = 196 /45.

Знаходимо розв'язок прямої задачі, як спряженої до двоїстої: Х₁^* = 5 / 49, Х₂^* = 11/196, Х₃^* = 1/14.

Зі співвідношення X_і = р_і / ν маємо р_і = X_і · ν і отримуємо:

на ярмарку фірма має притримуватися своїх стратегій із відповідними частотами

р₁ ^* = 20/45, р₂ ^* = 11/45, р₃ ^* =14/45,

сподіваючись отримати дохід не менше за 196 /45 гр. од .