Задачі дробово-лінійного програмування

Задача І. max (min) Z = за умов:

2x₁ + 3x₂ 12,

-x₁ + 2x₂ 6,

2x₁ - 2x₂ 8, x₁ 0 , x₂ 0.

• Будуємо на площині ОДР – область допустимих розв`язків. Маємо трикутник АВС.

x₂

(3) B

A

C

0 x₁

(2)

(1)

• ЦФ набуває деякого значення: = Z

Після елементарних перетворень: (5-2 z) x₁ = ( z + 2) x₂ або x₂ = x_1.

Це рівняння описує пряму, що обертається навколо початку системи координат залежно від зміни x₁ і x_2.. Кутовий коефіцієнт нахилу цієї прямої, що виражає: К (Z) = .

• Виконуючи аналогічні перетворення щодо Z і K можна одержати вираз:

Z (K) = .

Тобто, цільова функція Z (K) являє собою пряму, що обертається навколо початку координат (позначена пунктиром), бо залежить від величини кутового коефіцієнта K. Отже залежно від напряму обертання точками max і min будують т. А і С.

Правила пошуку max (min) значення ЦФ:

K´(Z) = < 0 то функція K (Z) є спадною,

Z´(K) = < 0 то функція Z (K) є спадною.

• Тому для відшукання точки max необхідно повертати пряму, що описує ЦФ, навколо початку системи координат у напрямку за годинниковою стрілкою.

• Тоді маємо: т.С – max, т. А – min.

Задача іі. Зведення задачі длп до задачі лінійного програмування

Підприємство виготовляє продукцію 3-х видів А, В, С, для чого використовує три види ресурсів І. ІІ, ІІІ. Норми витрат ресурсів на одиницю продукції, запаси ресурсів на підприємстві, ціну і собівартість кожного виду продукції наведено в таблиці:

Вид ресурсу	Норми витрат на одиницю продукції за видами			Запас ресурсу
	А	В	С
І ІІ ІІІ	1 2 1	2 4 1	4 2 2	360 520 220
Ціна продукції	90	110	150
Собівартість	50	60	84

Розрахувати оптимальний план виробництва продукції кожного виду з використанням ресурсів, щоб рентабельність виробництва продукції була максимальною.

• Математична модель задачі:

Цільова функція – функція рентабельності виробництва продукції

max Z =

Система обмежень 1·x₁ + 2 x₂ +4 x₃ ≤ 360,

2·x₁ + 4 x₂ +2 x₃ ≤ 520,

1·x₁ + 2 x₂ +2 x₃ ≤ 220, x_j ≥ 0

• Позначимо = y₀ і введемо заміну змінних y_j= y_{0 ·}x_j (j=1_,2,3).

• Тоді ЦФ матиме вигляд: Z = = 90 y₁ + 110 y₂ + 150 y_3.

Отримали ЦФ, що виражена лінійною залежністю.

• Оскільки y_j= y_{0 ·} x_j ( j=1_,2,3 ), то х_j = . Підставимо виражені через нові змінні значення х_j до системи обмежень :

1·y₁ + 2 y₂ +4 y₃ ≤ 360 y₀ ,

2·y₁ + 4 y₂ +2 y₃ ≤ 520 y₀ ,

1·y₁ + 2 y₂ +2 y₃ ≤ 220 y₀ , y_1, y_2, y₃ ≥ 0.

1·y₁ + 2 y₂ +4 y₃ - 360 y₀ ≤ 0 ,

2·y₁ + 4 y₂ +2 y₃ - 520 y₀ ≤ 0,

1·y₁ + 2 y₂ +2 y₃ - 220 y₀ ≤ 0 , y_1, y_2, y₃ ≥ 0.

• Долучаємо до системи обмежень додаткову умову – введені підстановки

= y₀ =

= 1

50·y₁ + 60·y₁ + 84·y₁ =1

За умовою невідємності змінних y_j 0 ( j=1,2,3_,), y₀ 0.

• Виконані перетворення приводять до такої моделі задачі:

Z max = 90 y₁ + 110 y₂ + 150 y_3.

1·y₁ + 2 y₂ +4 y₃ - 360 y₀ ≤ 0 ,

2·y₁ + 4 y₂ +2 y₃ - 520 y₀ ≤ 0,

1·y₁ + 2 y₂ +2 y₃ - 220 y₀ ≤ 0,

50·y₁ + 60·y₁ + 84·y₁ =1.

y_1, y_{2 ,}y₃ ≥ 0, y₀ >0.

Отримали задачу ЛП, розвязками якої будуть Y^* = ( y₀^*; y₁^*; y₂^* ;…; y_n^*)

• Оптимальне значення початкової задачі визначають за формулою:

х_j^*= (j=1_,2,3)