4. Равенство множеств и подмножества

Рассмотрим множества и . Хотя эти множества написаны в разных формах, каждое из них содержит в точности одни и те же элементы, 1 и –1. Мы называем такие множества равными.

Определение Множества A и B называются равными, если они содержат в точности одни и те же элементы. Пишут A = B.

Когда два множества содержат малое количество элементов, обычно можно проверить, являются ли они одними и теми же, и из этого определить равенство множеств.

Упражнение 1.8

Если же множества содержат много элементов, уже не так просто определить, равны ли они. Опишем метод работы с такими случаями, предварительно введя одну необходимую идею.

Рассмотрим множества и . Каждый из элементов является и элементом . Говорят, что — это подмножество .

И

Определение Множество — подмножество множества , если каждый элемент — это также элемент . Также говорят, что содержится в : .

Не путайте символы и . Например, мы пишем, что , поскольку — это подмножество , и , поскольку 1 — это элемент .

ногда, чтобы показать, что — подмножество , символ переворачивают и пишут , то есть « содержит ». Чтобы показать, что — не подмножество , пишут или , то есть « не содержит ».

Когда нужно определить, является ли данное множество A подмножеством данного множества , подход зависит от способа, которым определены множества. Если содержит малое число элементов, то мы просто проверяем каждый элемент на принадлежность . Иначе надо проверить, отвечает ли произвольный элемент требованиям принадлежности , как показано ниже в примере 1.2.

Чтобы показать, что данное множество — не подмножество данного множества , нужно найти хотя бы один элемент , который не принадлежит . Пустое множество ⌀ является подмножеством любого множества, поскольку невозможно найти элемент ⌀, который бы не принадлежал данному множеству.

Пример 1.2

Решение

Упражнение 1.9

Если два множества и равны, то — это подмножество и наоборот. Если — подмножество , но не равно ему, то говорят, что — собственное подмножество , и пишут или .

Чтобы показать, что — это собственное подмножество , нам нужно показать, что — это подмножество и что есть хотя бы один элемент , не содержащийся в .

Пример 1.3

Решение

Упражнение 1.10

Теперь вернёмся к вопросу, как определить, равны ли множества и , если в обоих много элементов. Для этого надо показать, что каждое из множеств — подмножество другого.

П

Стратегия 1.1 Чтобы показать, что множества и равны:

покажите, что ;

покажите, что .

ример 1.4

Решение

Упражнение 1.11

5. Вычисление подмножеств конечных множеств

К

Ноль элементов — в пустом множестве.

онечное множество — это множество с конечным количеством элементов, то есть число элементов — это некоторое натуральное число или 0. Ранее мы увидели, что, используя систему записи множеств, мы можем писать элементы множества в любом порядке. Например, множество {1, 2, 3} может быть при переставлении элементов местами записано шестью разными способами: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1} (каждый из элементов написан по разу).

В

Определение Для любого положительного целого числа

,

Также .

общем случае множество из n элементов может быть упорядочено способами, поскольку первый элемент можно выбрать способами, второй — и т. д. Это произведение мы обозначаем как (читается как факториал).

Н

определяется равным 1 для удобства, чтобы для было верным соотношение Также это определение показывает, что число различных упорядоченных вариантов пустого множества — 1: нельзя менять порядок нуля элементов!

апример, множество из 10 элементов может быть упорядочено

способами.

Конечное множество имеет конечное число подмножеств, но сколько их? Например, рассмотрим множество {1, 2, 3}. Ниже перечислены все подмножества этого множества в соответствии с их размером :

	подмножества	число подмножеств
0	⌀	1
1	{1}, {2}, {3}	3
2	{1,2}, {1,3}, {2,3}	3
3	{1, 2, 3}	1

Таблица показывает, что множество имеет в общей сложности подмножеств.

Упражнение 1.12

Видим, что множество из трёх элементов имеет 8 подмножеств, а множество из четырёх элементов — 16 подмножеств. Можно предположить, что множество из элементов имеет подмножеств. Чтобы это доказать, предположим следующее. С каждым подмножеством множества , состоящего из элементов, можно сопоставить строку из символов, где -й символ — это 1, если -й элемент содержится в данном подмножестве, и 0 иначе. Например, если , то строка для подмножества — это 01011. Поскольку для каждого из символов есть два варианта выбора, то всего строк, как и подмножеств, .

Теперь сосредоточимся на таком вопросе, который связан с предыдущим: сколько у множества из элементов подмножеств из элементов? Чтобы ответить на него, рассмотрим упорядоченный выбор элементов из множества. Для первого — вариантов, для второго , для последнего — . Таким образом, количество упорядоченных наборов из элементов -элементного множества равно . Но некоторые из этих наборов порождают одни и те же множества. На самом деле каждое подмножество из элементов соответствует выборам элементов. Таким образом, число различных подмножеств c элементами -элементного множества равно .

У

Определение Для любых неотрицательных целых и , ,

.

Это выражение называется биномиальным коэффициентом. Это число -элементных подмножеств -элементного множества.

множив числитель и знаменатель на , получим . Введём для этого выражения такую запись.

Н

Выражение иногда записывается как , что читается как «цэ из эн по ка». означает combination — комбинация. Причина наименования «биномиальный коэффициент» станет ясна в четвёртой главе.

апример, число подмножеств из двух элементов множества из трёх элементов равно

,

что мы и получили из таблицы на странице 14.

Более интересный пример — пример лотереи, в которой участники выбирают подмножество из 6 элементов множества из 49 элементов. В этом случае возможных подмножеств, или, как их обычно называют, комбинаций,

Конечно, в знаменателе можно отбросить и писать .

.

Упражнение 1.13

Пример 1.5

Решение

Упражнение 1.14