3. М Такие множества появляются во многих приложения математики, например, в компьютерной графике. Ножества на плоскости

В части I1 Вы познакомились с плоскостью и увидели, что любая точка на плоскости может быть представлена как упорядоченная пара по отношению к данной паре осей. Множество точек из называется множеством на плоскости, или плоской фигурой. Простые примеры множеств на плоскости — это прямые и окружности.

Прямые

Рассмотрим прямую линию l c наклоном a и пересечением с осью ординат на расстоянии b от начала координат. Эта прямая — это набор всех таких точек плоскости , что . Используя систему записи множеств, запишем это так:

.

(Иногда в качестве краткой записи этого множества используется фраза «прямая ».)

Прямую, параллельную к оси Oy и отстоящую от неё на расстояние c, записывают так:

.

Упражнение 1.4

Окружности

Единичная окружность U — это множество точек плоскости , расстояние от которых до точки начала координат равно 1. По теореме Пифагора, это точки , удовлетворяющие уравнению , так что единичная окружность записывается так:

.

В общем случае окружность C c радиусом r и центром в точке — это множество точек , лежащих от точки на расстоянии r. По теореме Пифагора, это точки , удовлетворяющие уравнению , так что единичная окружность записывается так:

.

Упражнение 1.5

Полуплоскости, круги и другие множества на плокости

Рассмотрим прямую

.

Эта прямая делит на три разные части: саму линию l, множество H₁ точек, лежащих над прямой, и множество H₂ точек, лежащих под прямой.

Рассмотрим произвольную точку из H₁, как показано на полях. Точка лежит на прямой l под P, как показано на рисунке, так что y > 1 – x. Аналогично, для любой точки из H₂ выполняется y < 1 – x. Таким образом,

и .

(На графиках, когда показанное множество на плоскости не включает граничную линию, мы рисуем её пунктиром.)

Множество точек с одной стороны от прямой, возможно, также вместе с точками самой прямой, называется полуплоскостью. Полуплоскость, не включающая точки прямой, задаётся аналогично вышеприведённым примерам H₁ и H₂. Соответствующие полуплоскости, включающие точки прямой получаются заменой строгих неравенств на нестрогие.

Теперь рассмотрим единичную окружность

.

Эта окружность делит плоскость на три разные части: саму окружность U, множество D₁ точек, лежащих внутри окружности, и множество D₂ точек, лежащих вне окружности.

Условие того, что точка (x, y) лежит внутри U — это то, что расстояние от неё до начала координат меньше единицы, то есть и квадрат этого расстояния тоже меньше единицы. Таким образом,

.

Аналогично,

.

Множество точек внутри окружности, возможно, вместе с точками самой окружности, называется кругом. Если нам нужно включить в круг точки самой окружности, мы заменяем в определении множества D₁ строгое неравенство на нестрогое.

Теперь рассмотрим множество точек, лежащих внутри квадрата с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1) и (0, 1). Это множество можно записать как

.

Если в это множество надо включить стороны квадрата, мы меняем строгие неравенства на нестрогие. На рисунке такое множество мы бы показали, заменив пунктиры сплошными линиями.

Упражнение 1.6

Этот подраздел мы завершаем рассмотрением графика вещественной функции. В части I1 мы нарисовали график вещественной функции f, нанося на плоскость точки вида (x, f(x)) для каждого элемента x из области определения функции A. Из этого вытекает следующее формальное определение графика.

Определение График вещественной функции — это множество .

Упражнение 1.7