Вопрос №25 Сформулируйте и докажите условия равновесия произвольной плоской системы сил

Если все силы, действующие на твердое тело, лежат на одной плоскости, выберем систему координат хОу в плоскости действия сил (рис. 1.39). В этом случае обнаружим, что

Д алее, вспомнив определение момента силы относительно оси, замечаем, что сумма моментов всех сил относительно оси z равна алгебраической сумме моментов этих сил отно­сительно, начала координат, т.е. точки О. В ре­зультате останутся следующие три аналитиче­ские условия равновесия:

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из коорди­натных осей х и у и сумма моментов всех сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю.

Читателю рекомендуется рассмотреть самостоятельно случаи плоской системы сходящихся и параллельных сил.

Вопрос № 26 Сформулируйте и докажите условия равновесия системы параллельных сил в пространстве

П усть на твердое тело действует пространственная система па­раллельных сил. Так как выбор осей произволен, можно выбрать систе­му координат так, чтобы одна из осей была параллельна силам, а две другие им перпендикулярны (рис. 1.38). При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z всегда будут равны ну­лю. Это означает,что;

Э ти рав-ва тожд-но выпол-ся, нез-мо от того, нах-ся ли данная с сил в равн-и или нет, т.е. перестают быть условиями рав­н-я. Поэт в кач-ве усл равн-ия ост следующие:

Так обр, для равн-ия с пар-ых сил в прост-ве необ-о и дост-о, чтобы сумма проекций всех с на ось, параллельную этим силам, равнялась о и чтобы сумма их мом отн-о кажд из 2 коорд осей, перпен­д силам, также = нулю.

Вопрос № 27 Сформулируйте и докажите вторую форму условий равновесия произвольной плоской системы сил (теорема о трех моментах)

Для равн произв пл с сил необх и достат, чтобы суммы мом всех с отн любых трех точек, не леж на одной прямой, были равны нулю, т.е.:

(2)

Отсюда следует, что сумма мом всех с отн люб точки, след-но, и точек А, В, С равн нулю, т.е. вып условия (2).

Дан сис с не нах в равн-и, то она долж была бы приво-я к равн-ей, одно-но прох через точки Л, В, С. Это нев-о, т.к. т А, В, С не лежат на одной прямой. ->, если вып усл(2), то им место рав-е.

Вопрос № 28 Сформулируйте и докажите третью форму условий равновесия произвольной плоской системы сил.

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно двух любых точек А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендику­лярную прямой, проходящей через точки А и В, были равны нулю:

Докажем их доста­точность, т.е. докажем, что если выполняются условия (3), то рассматриваемая сис находится в равновесии. Выполнение первых двух условий (3) означает, что главный момент данной системы сил относи­тельно центров приведения А и В равен нулю. Такая система может иметь равно­действующую, приложенную в центре при­ведения, и при R*=** 0 линия действия равно­действующей проходит через точки А и В. Но по третьему условию из (3) проекция равнодействующей на ось Ох равна нулю. Так как ось Ох (рис. 1.40) не перпендику­лярна АВ, то это последнее условие может быть выполнено только в слу­чае, если R*=0, т.е. когда рассматриваемая система сил уравновешена.