Вопрос № 22 Доказать частные случаи приведения произвольной пространственной системы сил к равнодействующей и к паре

Мы показали, что в общем случае произвольная пространствен­ная система сил приводится к динаме. Это возможно, только если и причем и второй инвариант

Однако в результате приведения системы сил может оказаться, что второй инвариант равен нулю. Здесь возможны следующие частные результаты.Приведение к равнодействующей

Если , то система сил приводится к

о дной силе, т.е. к равнодействующей, равной главному вектору системы сил. Это следует из того, что при. главный вектор и главный момент взаимно перпендикулярны (рис. 1.36), а следовательно, минималь­ный момент М* = 0, и динама вырож­дается в одну силу, т.е. равнодейст­вующую. Поясним это более нагляд­но. Заменим главный момент Мо па­рой сил так, чтобы силы, составляю­щие эту пару, по величине были бы равны главному вектору R. Располо­жим эту пару так, чтобы одна из сил была бы приложена в центре приве­дения и направлена в сторону, проти­воположную направлению R. Система сил (R и —R* ) эквивалентна нулю. Остается одна сила R* , приложенная в точке О*, причем При приведении системы сил к центру О

может оказаться более простой случай, когда Ясно, что в этом случае система сил эквивалентна главному вектору, т.е. равно­действующей, приложенной в центре приведения.

Таким образом, чтобы система сил имела равнодействующую, необходимо и достаточно выполнение двух условий: для любого центра приведения.

Приведение к паре сил Если то главный момент не зависит от

выбора центра приведения. Система сил при этом приводится к паре с

моментом Мо

Вопрос № 23 Сформулируйте и докажите теорему Вариньона для произвольной пространственной системы сил.

Если произвольная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен геометрической сумме моментов всех сил этой системы относительно того же центра. Пусть некоторая система сил (F1, F2,...FN) приведена к равно­действующей , приложенной в точке О*. Перенесем эту рав­нодействующую в произвольную точку О. При этом добавится присое­диненная пара с моментом

(1)

С другой стороны, точку О можно рассматривать как новый центр приведения главный момент относительно которого

(2)

Сравнивая равенства (1) и (2), получаем теорему Вариньона

Проецируя обе части этого равенства на любую ось, проходящую через центр О, найдем, что теорема Вариньона справедлива для моментов данной системы относительно оси.

Вопрос № 24 Сформулируйте и докажите условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Рассмотрим произвольную пространственную систему сил, дей­ствующих на твердое тело. Приведем эту систему сил к заданному цен­тру и остановимся на том случае, когда главный вектор и главный мо­мент данной системы сил равны нулю, т.е.

(1)

Такая система сил эквивалентна нулю, т.е. уравновешена. Сле­довательно, равенства (1) являются достаточными условиями равнове­сия. Но эти условия также и необходимы, т.е. если система сил нахо­дится в равновесии, то равенства (1) также выполняются.

В самом деле, если бы система находилась в равновесии, но, например то данная система привилась бы к равнодействующей в центре приведения и равновесия не было бы. Если бы но Мо =**О, данная система привилась бы к паре и равновесия также не было пара не могут уравновесить друг друга. Таким образом, мы доказали, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необ­ходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведения равнялись нулю.

Условия (1) называются условиями равновесия в векторной форме. Для получения более удобной для практических целей аналити­ческой формы условий равновесия спроецируем равенства (1) на оси декартовой системы координат. В результате получим:

(2)

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси ко­ординат х, у и z, а также сумма моментов всех сил относительно этих же осей равнялись нулю.