Вопрос № 16 Сформулируйте и докажите лемму о параллельном переносе силы

Всякая сила, приложенная к абсолютно твердому телу в данной точке А, эквивалентна той же силе, приложенной в любой другой точке В и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

П усть к точке А твердого тела при­ложена сила F_A. Приложим к произвольно выбранной точке В две уравновешенные силы F_B и F'_B , которые равны по величине силе F_A и лежат на линии, параллельной ей (рис. 1.30). Тогда, согласно второй аксиоме, получившаяся система трех сил FA, FB, F'B

эквивалентна данной силе, т.е. (FA, FB, F'B) ~ FA, но силы FA и F'B со­ставляют пару сил, поэтому

Эта лемма показывает, что данную силу можно переносить па­раллельно самой себе в любую точку тела, присоединив при этом соот­ветствующую пару. Пару, получающуюся при переносе силы з другую точку приложения, называют присоединенной парой. Её момент равен моменту данной силы FA относительно ее новой точки приложения В.

Вопрос № 17 Сформулируйте и докажите теорему о приведении произвольной пространственной системы сил к главному вектору и главному моменту

Пусть на твердое тело действует произвольная пространствен­ная система сил (F1 F2,....FN). Выберем произвольный центр О, назы­ваемый центром приведения, и перенесем все силы данной системы в этот центр. В результате получим N сил, приложенных в центре приведения, и N присоединенных пар, т.е. N вектор-моментов присоединенных пар (рис. 1.31, а). Складывая все си­лы, приложенные 2 центре О, получим одну результирующую силу

Сила R, равная геом сумме всех сил данной системы, называется главным вектором.

Здесь следует подчеркнуть, что вектор R есть главный вектор данной системы сил (F1 F2,....FN), а не равнод этой системы, так как главный вектор не эквивалентен исходной системе сил. Главный вектор R является равнодействующей системы сил (F’l, F’2 ,....F'N), а не заданной системы (F1 F2,....FN) (рис. 1. 31, а). Далее на основании теоремы 4 о сложении пар складываем мо­менты присоединенных пар, помня при этом, что момент каждой при­соединенной пары равен моменту исходной силы относительно центра приведения. В результате получим

В еличина Mo равная геометрической сумме моментов всех сил

системы относительно центра приведения, называется главным моментом относительно этого центрам Таким образом, мы доказали сле­дующую теорему: произвольная пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, в общем случае эквивалентна одной силе, равной главному вектору этой системы и приложенной в про­извольно выбранном центре приведения О, и главному моменту отно­сительно этого центра приведения (рис. 1.31, б). Из этой теоремы следует, что две произвольные пространствен­ ные системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные мо­менты относительно одного центра приведения, эквивалентны.

Вопрос № 18 Дайте вывод формул для аналитического определения главного вектора и главного момента произвольной пространственной системы сил

Пусть дана произвольная пространственная система сил {F1,, F2,....FN). Приведем ее к заданному центру О. В результате полу­чим, что данная система эквивалентна главному вектору и главному (F1,F2…Fn)~(R,Mo),,,,,Здесь по определению

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало было в центре приведения. Тогда проекции главного вектора на эти оси координат определятся соотношениями:

Зная проекции главного вектора, можно определить его величи­ну и направление по следующим формулам:

Таким же образом находим проекции главного момента:

Здесь следует помнить, что согласно теореме о связи между моментом силы относительно оси и моментом этой же силы относи­тельно точки, лежащей на этой оси, правые части равенства (6) вычис­ляются как суммы моментов всех сил данной системы относительно выбранных осей координат. Далее находим модуль и направление главного момента

В опрос № 19 Докажите как изменяется главный момент при изменении центра приведения Пусть пространственная система сия приведена к центру О, т.е.

Где (F1,F2…Fn)~(R,Mo) R=сумма всех с. Мо= свсrkxFk.Главный момент образует с направлением главного вектора не­который Угол а (рис 1.32)

Возьмем теперь новый центр приведения О1 и приведем все си­лы к этому центру. В результате снова получим главный вектор, равный главному вектору R, и новый главный момент, определяемый формулой

Мо1=свс рок х Fk,где pк — радиус-вектор точки приложения силы Fk, проведенный из но­вого центра приведения О1 Главный момент Мо1 относительно нового центра приведения изменился и теперь образует с направлением главного вектора R неко­торый угол а1. Установим связь между моментами Мо и Мо1 . Из рисунка 1.32 видно, что

Рок=О1О=rk(3) Подставляя (3) в равенство (2), получим

(4)

Далее, раскрывая скобки в правой части равенства (4) и вынося общий множитель О1О за знак суммы, имеем ,,,,