Вопрос № 6 Дайте обоснование определения момента силы относительно оси

Р ассмотрим тело, которое может вращаться вокруг неподвиж­ной оси z (рис. 1.16). Пусть на это тело действует сила F, приложенная к точке А тела. Проведем через точку приложения силы перпендикулярно оси z плоскость, котораяпересекается с осью z в точке О.

Разложим данную силу на две составляющие: составляющую Fz, параллельную оси z, и составляющую Fxy, лежащую в плоскости хОу и являющуюся проекцией силы F на эту плоскость. Очевидно, что со­ставляющая Fz, параллельная оси z, не может повернуть тело вокруг оси z; эта сила стремится только сдвинуть тело вдоль оси z. Это значит, что вращательный эффект силы F относительно оси z одинаков с враща­тельным эффектом, создаваемым ее составляющей Fxy (т.е. проекцией силы F на плоскость перпендикулярную оси z), относительно точки О. Отсюда следует определение момента силы относительно оси, который будем обозначать символом mz(F).Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикуляр­ную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит по­ворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки. Из определения момента силы относительно оси следует

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее. В обоих случаях сила и ось лежат в одной плоскости.

Вопрос № 7 Зависимость между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси

Пусть на тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 1.17). Момент этой силы относительно произвольной точки О, ле­жащей на оси z, перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ и по величине равен удвоенной его площади

П роведя через точку О плоскость хОу перпендикулярно оси z и проецируя силу F на эту плоскость найдём

Т реугольник О А'В' представляет собой проекцию треугольника ОАВ на плос­ кость хОу. Известно, что площадь проекции равна площади проецируе­мой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью этой фи­гуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями треугольников ОАВ и О А'В' равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям, т.е. углу а между осью z и вектором mо(F) (см. рис. 1.17). Поэтому (3) Умножая равенстве (3) на 2 и учитывая формулы (1) и (2), находим Таким образом, доказана следующая теорема.

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектор-момента силы относительно произвольной точки, лежащей на этой оси.Доказанная теорема позволит нам в дальнейшем при использо­вании проекций момента силы на оси координат говорить об этих про­екциях как о моментах силы относительно соответствующих осей.

В опрос № 8 Докажите аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей

Если сила F задана своими проекциями Fx, Fy, Fz и координата­ми х, у, z точки приложения, то момент силы относительно начала ко­ординат может быть представлен в виде определителя третьего порядка* Разлагая этот определитель по элементам первой строки, найдем разло­жение вектора mo(F) по ортам декарто­вой системы координат

Коэффициенты при единичных ортах в формуле (2) равны про­екциям вектор-момента силы на оси координат. С другой стороны, согласно теореме с связи между моментом силы относительно оси и моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси проекции вектор-момента силы на оси координат, равны моментам силы относительно этих осей. Таким образом, С помощью этих формул момент силы относительно оси можно вычислить, зная проекции силы и координаты точки ее приложения.

В опрос № 9 Сформулируйте и докажите правило сложения двух параллельных сил Рас-м сначала с двух пар-х сил Р и Q, на­п-х в одну сторону. Треб найти их равно-­щую. Будем считать точками приложе­ния сил Р и О точки А и В. Соединим эти точки прямой АВ и приложим к ним две равные по модулю силы S и S', на­пр-е по прямой АВ в прот-е стороны, т.е. с сил S и S', экв-ю нулю, (S, S')~0.Сложив теперь силы Р и S и силы Q и S^’ получим их равнодействующие R1 и R2 которые уже не параллельны. Очевидно, что (Р, Q)~(R1 R2). Далее, продолжим линии действия сил R1 иR2 до их пересечения в точке О и перенесем R1 и R2 в эту точку. Теперь каж с R1 и R2 разл по прав пар-ма на сост-е силы Р и S, Q и S',пар-е прям АВ и с Р и Q. Так обр, наша с сил свелась к с сил, прил-х к одной точке О.Рассм с четырех сил (Р, Q, S, S') прил-х к точке О. С сил (S, S') как экв-ю нулю отбросим. Ост две силы Р и Q, которые прил к одной точке, направлены в одну сторону и действуют по прямой ОС, которая параллельна линиям действия данных сил Р и Q. Следовательно, равнодействующая этих сил будет по модулю равна сумме модулей слагаемых сил, т.е. R=P+Q, (1) и направлена параллельно данным силам. Из подобия соответствующих треугольников имеем: Разделив почленно одну пропорцию на другую, получим

Таким образом, линия действия равнодействующей проходит через точ­ку С, которая находится на отрезке АВ и делит отрезок АВ внутренним образом на части, обратно пропорциональные данным силам.

Составив из пропорции (3) производные пропорции, получим

или, учитывая равенство (1) и помня, что АС+СВ=АВ, получим

Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну

сторону, имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону.

Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая делит отрезок АВ, соединяющий точки приложения данных сил, на части, обратно пропорциональные этим силам, внутренним образом.