Вопрос № 31 Докажите как определяются координаты центра тяжести однородных тел простейшей формы (треугольника, дуги окружности

1. Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ ра­диуса R с центральным углом АОВ = 2а (рис. 1.48, а). В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох.

Найдем координату хс по формуле: (1)

Выделим на дуге АВ элемент dl = Rdф, положение которого оп­ределяется углом ф.

Координата центра тяжести этого элемента Подставляя значения х и dl в формулу (1), получим

(2) Длина дуги L =2Ra. Тогда окончательно (3) При а = П/2 имеем случай полуокружности. В этом случае

Вопрос № 32 Докажите как определяются координаты центра тяжести однородных тел простейшей формы (дуги окружности, сектора

2. Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом 2а (рис. 1.48, б).

Разобьем мысленно площадь сектора радиусами на элементар­ные секторы. Эти секторы можно рассматривать как треугольники, цен­тры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса

Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ будет совпадать с центром тяжести дуги DE, положение которого найдем по формуле (3). Окончательно получим

(4) При сектор превращается в полукруг. В этом случае

Вопрос № 33, 34 33. Трение скольжения. Статический и динамический коэффициенты трения скольжения. Угол трения.34. Трение качения. Момент трения качения. Коэффициент трения качения и его размерность

Выше мы предполагали, что тела абсолютно твердые, а поверх­ности соприкасающихся тел идеально гладкие. Б этом случае сила реак­ции всегда направлена по нормали к общей касательной в точке сопри­косновения, т.е. ее направление не зависит от величин и направлений действующих на тело активных сил. В действительности же абсолютно твердых и идеальных тел в природе нет, и поэтому направление силы реакции при равновесии тела зависит от активных сил.

Р азложим реакцию R шероховатой поверхности на составляющие N и F. Со­ставляющая N, направленная по нормали к поверхностям соприкосновения, называется нормальной силой реакции, а составляющая F, находящаяся в касательной плоскости со­прикасающихся поверхностей - силой трения скольжения. В инженерных расчетах при учете сил трения обычно руководствуются приближенными, установленными опытным путем свойствами или за­конами трения. Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения (рис. 1.52).

Величина силы трения зависит от активных сил, действующих на тело, и может принимать любые значения от нуля до Fmax, которое достигается в момент нарушения равновесия. Предельное значение силы трения Fmax пропорционально нормальной силе реакции:

(1)

Безразмерный коэффициент пропорциональности/, называется статическим коэффициентом трения скольжения. Он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасающихся поверхностей, чистоты их обработки и, в довольно широких пределах не зависит от площади соприкосновения тел. При равновесии сила трения F всегда меньше или равна предельной силе трения Fmax, т.е.

(2) Знак равенства соответствует предельному равновесию.

При скольжении одного тела по поверхности другого сила тре­ния направлена противоположно относительной скорости и равна про­изведению динамического коэффициента трения f на величину нор­мальной силы реакции. Динамический коэффициент трения/несколько меньше статического

В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения, реакция R отклонена от нормали на наиболь­ший угол ф0. Этот наибольший угол фо называется углом трения.

Из рис. 1.52 следует, что

(3)

т.е. тангенс угла трения равен статическому коэффициенту трения

скольжения.

Е сли действующие на тело силы приводятся к равнодействующей, линия действия которой проходит через точку касания А тела с шероховатой поверхно­стью и образует с нормалью в этой точке угол а (рис. 1.53), то легко заметить, что для того, чтобы равновесие тела не нару­шалось, необходимо, чтобы

откуда

Это значит, что никакая сила, образующая с нормалью угол а, меньший угла трения, сдвинуть тело не может.

Другой вид трения возникает при качении одного тела по по­верхности другого и называется трением качения.

П риложим к оси цилиндрического катка радиуса г горизонталь­ную силу Q (рис. 1.54). Кроме силы Q, на каток действует сила тяжести Р и сила реакции М. Как показывает опыт, при изменении величины си­лы Q от нуля до некоторого предельного значения каток будет оставать­ся в покое, т.е. силы, действующие на каток, уравновешены. По теореме о трех уравновешенных силах, силы Q, Р и R схо­дящиеся, т.е. линия действия силы R проходит через центр катка, а ее точка приложения В смещена от вертикали, проходящей через точку касания, на некоторое расстояние 6. Разложим реакцию R на составляющие: нормальную N и каса­тельную F, являющуюся силой трения. Теперь легко заметить, что в предельном положении равновесия катка к нему приложены две взаим­но уравновешивающихся пары (Q, Fmax) и (Р, N). Момент второй пары называется моментом трения качения и определяется формулой

(4)

Входящая в формулу (4) линейная величина 6 называется коэффициен­том трения качения, который определяется экспериментально и изме­ряется в единицах длины.

Перенесем силу N параллельно в точку А и, пользуясь теоремой о параллельном переносе силы, приложим к катку присоединенную пару с моментом, равным моменту трения качения m. Тогда силы, дейст­вующие на каток, можно изобразить так, как показано на рис. 1.55. Та­кую расстановку сил удобно применять при решении задач, т.к. при этом нет необходимости изображать на чертеже деформацию тел.

1