1.6. Переход от прямоугольной системы координат к полярной системе координат

Пусть требуется вычислить двойной интеграл от функции по облас­ти D, заданной в прямоугольной системе координат

Если область D является правильной в полярных координатах , то вы­числение данного интеграла можно свести к вычислению двукратного интегра­ла в полярных координатах, используя замену: .

Пример 11. Переходя в поляр­ную систему координат, вычислить двойной интеграл

где область D - круговое кольцо, за­ключённое между окружностями и (рис. 17).

Рис. 17

Р ешение. Используя замену , где получим

_{Рис. 18}

Пример 12. Переходя в полярную систему координат, вычислить двойной интеграл , где область D ограничена окружностями и

Решение. Приведём уравнение окружности к каноническому виду и в координатной плоскости сделаем рисунок области D (рис. 18).

Сделаем замену , получим уравнения окружностей в полярной системе координат:

сделав преобразования, получим и ,

1. Решим внутренний интеграл

2. Решим внешний интеграл:

1.7. Вычисление площади посредством двойного интеграла

Площадь S плоской фигуры области D равна двойному интегралу по об­ласти D.

В прямоугольной системе координат: .

В полярных координатах: .

Пример 13. Найти площадь области, ограниченной линиями

Решение. Сделаем рисунок 19, область D - это криволинейный треуголь­ник ABC. Область D будет правильная в направлении оси ОХ.

Рис. 19 Рис. 20

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Решение. Определим точки пересечения данных кривых (рис. 20). В точке пересечения ординаты равны, т.е. отсюда . Получим две точки пересечения . Область D - правильная в направлении OУ.

Пример 15. Найти площадь области, ограниченной линиями

Рис. 21 Рис. 22

Решение. Построим данные окружности в полярной системе координат (рис. 21).

Пример 16. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограни­ченную линиями:

Решение. Уравнения окружностей приведём к каноническому виду и сделаем рис. 22, Переходя к полярной системе координат сделаем замену . Получим т.е. отсюда следует, что от сюда следует, что

1.8. Вычисление объема тела посредством двойного интеграла

Объём вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основани­ем область D на плоскости хОу и ограниченного сверху поверхностью (рис. 23), выражается двойным интегралом

Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25

Вычисление объёмов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объёмов нескольких вертикальных цилиндрических тел с образующими, параллельными оси Oz.

Пример 17. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело (рис. 24) представляет вертикальный цилиндр, ко­торый сверху ограничен частью плоскости а снизу - частью плоскости, заключённой между параболой и прямой

Пример 18. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение. Гиперболический параболоид пересекает плоскость хОу по двум прямым он ограничивает тело, симметричное плоско­стей xOz и yOz. Объём четвертой части тела, расположенной в первой октаве (рис. 25), равен: