1.3. Вычисление двойного интеграла

1. Изобразим в координатной плоскости ОХУ область D.

2. От двойного интеграла перейдём к повторному интегралу, расставляя пределы интегрирования.

Если область D правильная в направлении оси 0У, то двойной интеграл перейдёт в повторный интеграл такого вида:

(1.1)

Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования во внут­реннем интеграле, проведём прямую через область D параллельно оси 0У, нижняя граница, которую пересечёт прямая, будет нижним пределом интегри­рования , и верхняя граница области D, из которой выйдет прямая будет верхним пределом интегрирования . Пределы интегрирования во внут­реннем интеграле - это линии, заданные функциями, зависящими от х. Пределы интегрирования во внешнем интеграле определяются как пределы изменения области D вдоль оси ОХ. Пределы интегрирования во внешнем интеграле это - числа.

Если область D правильная в направлении оси ОХ. то двойной интеграл перейдёт в повторный интеграл такого вида:

(1.2)

Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования во внут­реннем интеграле, проведём прямую через область D параллельно оси ОХ. ниж­няя граница, которую пересечёт прямая, будет нижним пределом интегрирова­ния , и верхняя граница области D, из которой выйдет прямая будет верхним пределом интегрирования . Пределы интегрирования во внут­реннем интеграле - это линии, заданные функциями, зависящими от у. Пределы интегрирования во внешнем интеграле определяются как пределы изменения области D вдоль оси OY. Пределы интегрирования во внешнем интеграле это -числа.

Примечание. Если область D - неправильная область, то её надо разбить на правильные области, и исходный двойной интеграл будет суммой двойных интегралов по этим областям.

3. Вычислить повторный интеграл.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

где область D ограничена линиями

Решение.

1. Зададим область D неравенствами. Очевидно, что Поэтому Поскольку фигурирует под знаком квадратного корня, Для возможны неравенства или Во втором случае область неограниченна, что неприемлемо.

Итак,

2. Переходим от двойного интеграла к повторному:

_{3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по y (считая х постоянной), затем по х:}

Пример 2. Расставить и вычислить двойной интеграл от функции по об­ласти D, ограниченной линиями:

Решение. Сделаем рисунок области D (рис. 6).

Рис. 6

Область D будет правильной в направлении оси ОХ. Проведём прямую через область D, параллельно оси ОХ, левая граница области D, которую пере­сечёт прямая: а правая граница Область D вдоль оси ОУ будет ме­няться от 0 до 2. От двойного интеграла перейдём к повторному:

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

. Область D ограничена прямыми

Решение:

Пример 4. Расставить пределы и вычислить двойной интеграл

где D:

Решение: Сделаем рисунок области D (рис. 7). Область D – правильная в направлении оси OY.

Рис. 7

Вычислим внутренний интеграл

Вычислим внешний интеграл

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

где D:

Решение. Построим область D (рис. 8). Это будет эллипс, будем интегри­ровать по х, найдём пределы внутреннего интеграла

Пределы внешнего интеграла найдём как ординаты самой нижней и са­мой верхней точек области D:

Перейдём от двойного интеграла к повторному

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

где область D ограничена прямой и параболой

Решение. Построим область D (рис. 9), она будет правильная в направле­нии оси ОХ, от двойного интеграла перейдём к повторному

_{Рис. 8 Рис.8}