Двойной интеграл

1.1. Определение, геометрический смысл и свойства двойного интеграла

Рис.1 Рис.2

Пусть в плоскости задана область D, ограниченная линией L (рис. 1).

Пусть в области D задана непрерывная функция Разобьём об­ласть D на n-площадок: В каждой из площадок возьмём точку Pi, тогда значение функции в каждой точке будет равно Составим интегральную сумму для функции в области D:

(1)

Если в области D, то каждое слагаемое можно представить геометрически как объём малого цилиндра, основание которого есть , а вы­сота . Сумма есть сумма объёмов элементарных цилиндров (рис. 2). Предположим, что при максимальный диаметр площадок стремится к 0.

Теорема 1. Если функция непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности интегральных сумм (1), если макси­мальный диаметр площадок стремится к нулю при . Этот предел не за­висит от способа разбиения области D на площадки , ни от выбора точки внутри площадки .

Определение. Этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается

или

Т.е. область D - называется областью интегрирования.

Геометрический смысл двойного интеграла. Если , то двойной интеграл от функции по области D равен объёму тела, ограниченного по­верхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, обра­зующие которой параллельны оси а направляющей служит граница области D (рис. 3).

Свойства двойного интеграла:

1. Двойной интеграл от суммы двух функций по области D равен сумме двух двойных интегралов по облас­ти D от каждой из функций в отдельности:

Рис.3

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: если , то

3. Если область D разбить на две области D, и D₂ без общих внутренних точек, и функция непрерывна во всех точках области D, то

1.2.Вычисление двойного интеграла

Введем понятие правильной области в направлении оси ОУ: Пусть в плоско­сти ОХУ задана область D, ограниченная линиями причём а функции непрерывны на отрезке и лю­бая прямая, проведённая через область D, параллельная оси ОУ, пересекает гра­ницу области в двух точках (рис. 4). Область D будет называться правильной в направлении оси ОХ. Аналогично определяется область, правильная в направ­лении оси ОХ: Область D будет правильной в направлении оси ОХ, если она ог­раничена линиями причём а функции непрерывны на отрезке и любая прямая, проведённая через область D, параллельно оси ОХ, пересекает границу области в двух точках (рис. 5).

Рис.4 Рис.5

Определение. Если непрерывна в области D, то выражение называется двукратным интегралом от функции по области D.

Вычисление повторного интеграла. Сначала вычисляется внутренний ин­теграл, причём интегрирование производится по у, а х считается постоянным. В результате получим непрерывную функцию от х

Далее вычисляют внешний интеграл