2. Локализация.

Базисные функции Вейвлет – анализа в отличии от преобразования Фурье должны быть локализованы, то есть определены на конечном интервале как во временной, так и в частотной областях.

3. Нулевое среднее.

4. График исходного Вейвлета осциллирует относительно нуля по оси времени.

5. Все базисные Вейвлеты имеют то же число осцилляций, что и исходные.

Непрерывное Вейвлет – преобразование.

CWT=C – обозначение непрерывной Вейвлет – функции.

- вводится для сохранения нормы.

Исходная Вейвлет – функция, основанная на второй производной:

Изменяя посредством параметра а ширину Вейвлета, то есть его длительность τ, можно влиять на ширину частотного спектра. Чем шире будет Вейвлет, тем уже его частотный спектр.

Вейвлет, основанный на первой производной:

Вейвлет Морле:

- прямое Вейвлет – преобразование.

Частотный анализ Фурье – преобразования:

S(ω) – заменяется на частотно – временной анализ с помощью функции С(а, в).

- обратное Вейвлет – преобразование.

Аналогия с преобразованием Фурье:

а→частота.

Свойства непрерывного Вейвлет – преобразования:

1. Линейность:

f(t); g(t) L

C_f,g(a, b)= C_f(a, b)+ C_f(a, b)

Линейность непрерывного Вейвлет – преобразования следует из линейности скалярного произведения двух функций.

2. Сдвиг:

f’(t); f’(t)=(t-b’) L

C_f’ (a, b)= C_f(a,b-b’)

Сдвиг непрерывного Вейвлет – преобразования соответствует сдвигу функции во временной области.

3. Масштабирование:

f(t);

Если функция расширяется во временной области, то и в частотно – временной области она тоже расширяется.

Особенность Вейвлет – преобразования: аналогия с прохождением через полосовой фильтр, перестраиваемого во времени.

Дискретное Вейвлет – преобразование.

DWT=D – обозначение.

Вейвлет – преобразование, при котором а и в дискретны, называют дискретным Вейвлет – преобразованием.

1. дискретизация параметра а:

2. дискретизация параметра в:

- число отсчетов по времени.

Согласно закону изменения параметра в, на каждом цикле с шагом j шаг движения по оси времени t увеличивается в два раза, следовательно, количество шагов уменьшиться в два раза.

Дискретное Вейвлет – преобразование функции Хаара.

Функция является исходным Вейвлетом. Система функций ψ(t-n) образует базисную функцию.