Вариант 4

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

   а) ;

   б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

   а) ;

   б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

   ;

   ;

   =?

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при .

8. Найти градиент функции в точке А(0;1;1) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке A(1;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

    а) ;

    б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

    ;	при x=1,98, y=-2,03.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 5

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

   а) ;

   б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

   а) ;

   б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

   ;

   ;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при .

8. Найти градиент функции в точке А(-2;1;-1) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(2;1) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

    а) ;

    б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

    ;	при x=5,02, y=-4,97.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .

Вариант 6

1. Найти и изобразить в декартовой системе координат область определения функции:

   а) ;

   б) .

2. Для заданной функции найти все частные производные первого порядка:

   а) ;

   б) .

3. Для заданной функции найти требуемые частные и смешанные производные:

   ;

   ;

4. Проверить, что функция удовлетворяет заданному уравнению:

.

5. Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что .

6. Найти производные неявно заданной функции:

а) ; и ,

б) ; .

7. Вычислить значение производной сложной функции , где , , при 1.

8. Найти градиент функции в точке А(1;3;2) и вычислить его модуль.

9. Для функции вычислить градиент в точке А(0;0) и производную в направлении вектора .

10. Найти полный дифференциал функции.

    а) ;

    б) .

11. С помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции.

    ;	при x=-3,97, y=2,04.

12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

13. Исследовать на экстремум функцию z= .