Самостоятельная работа
1. Найти частные производные второго порядка следующих функций:
1.1.
z=
;
1.2.
2. Найти , если u = ln (х + у).
3. Найти u’’’xyy , если u = sin (ху).
4.
Найти
, если 2xyz .
5. Проверить, что для функции:
1)
z = ln
;
. 2)
.
6.
Проверить, что функция
удовлетворяет уравнению
=0
7. Проверить, что функция u= ex / y удовлетворяет уравнению:
=0
9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность
задана уравнением
,
то уравнение касательной плоскости в
точке
к данной поверхности:
,
а
каноническое уравнение нормали,
проведенной через точку
поверхности:
Если поверхность
задана уравнением в неявном виде
=0
и точка
=0,
то уравнение касательной плоскости к
поверхности в точке М
определяется уравнением
(5)
нормаль к поверхности в точке (прямая, проходящая через точку перпендикулярно к касательной плоскости) определяется уравнениями:
(6)
Точки поверхности
=0,
где одновременно обращаются в нуль все
частные производные первого порядка
называются особыми. В таких точках
поверхность не имеет ни касательной
плоскости, ни нормали.
Пример 16. Найти
уравнения касательной плоскости и
нормали к эллиптическому параболоиду
в точке А(1;-1;3).
Решение. Преобразуем
уравнение поверхности к виду
и, обозначив его левую часть через
,
найдем частные производные
;
;
;
вычислим их числовые значения в данной
точке
,
;
;
и, подставляя в общие уравнения (5) и (6),
получим: уравнение касательной плоскости
4(x-1)-2(x+1)-(z-3)=0
или 4x-2y-z-3=0;
.
Самостоятельная работа
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:
1.1.
|
1.2.
|
1.3.
|
1.4.
|
в точке (1;-1;1).
в точке (3;1;4).
в точке (0,2,-2).
в точке (3,1,4).10. Экстремум функции нескольких переменных
Определение 9. Значение функции f(M) в точке называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках.
Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называются критическими.
Критическая точка будет точкой экстремума функции f(M), если для всех точек М, достаточно близких к (в окрестностях ), приращение функции
∆f = f(M) - f( ) не изменяет знака. При этом если ∆f сохраняет положительный знак, то
есть точка минимума, а если ∆f сохраняет отрицательный знак, то есть точка максимума функции.
Для функции двух переменных f(x, y) вместо исследования знака ∆f можно исследовать каждую критическую точку , в которой функция дважды дифференцируема, по знаку определителя.
где
При этом:
1) если ∆ > 0, то есть точка экстремума: при А < 0 (или C < 0) точка максимума, а при А > 0 (или С > 0) точка минимума;
2) если ∆ < 0, то для решения вопроса о наличие или отсутствии экстремума в точке требуется дальнейшее исследование, например по знаку приращения ∆f вблизи этой точки.
Условия 1) и 2) являются достаточными условиями наличия или отсутствия экстремума.
Пример
17. Найти экстремум функции:
Решение.
1) Находим частные производные 1-го
порядка
и
,
и критические точки, в которых они равны
нулю или не существуют и которые лежат
внутри области определения функции:
Решив систему уравнений
=0,
=0,
найдем две точки:
(0;0)
и
(1;
).
Обе точки являются критическими, так как функция определена на всей плоскости .
Других критических точек нет, так как и существуют при любых значениях и .
Далее
исследуем критически точки
и
по знаку определителя ∆, составленного
из частных производных второго порядка:
=
Для
точки
получим А = 0, B = − 6, C
= 0 и ∆(
)
= AC −
< 0. Следовательно, согласно достаточному
условию 2), в точке
нет экстремума.
Для
точки
имеем А = 6, B = − 6, C
= 24 и ∆ (
)
> 0. Согласно достаточному условию 1),
есть точка минимума.
