Самостоятельная работа

1. Найти производные сложных функций:

1.1. ?

1.2. найти 1) 2) если

1.3. ? ?

1.4.

1.5. если .

7.Дифференцирование неявной функции

Определение 8. Переменная называется неявной функцией от независимых переменных , если она задана уравнением ( , )=0, которое не разрешено относительно . При этом, если функция ( , ) и ее частные производные ^’_x, ^’_y, …, ^’_t, ^’_u определены и непрерывны в некоторой точке M₀( ) и вблизи нее, и если (M_o)=0, а ’_u(Mo)≠0 , то уравнение ( , )=0 вблизи точки P( ) и в самой этой точке определяет как однозначную, непрерывную и дифференцируемую функцию от .

Производные неявной функции , заданной уравнением ( , )=0, при соблюдении указанных условий определяются формулами

….; . (3)

В частности, если есть неявная функция одной переменной , заданная уравнением ( )=0, то

(4)

Пример 10. Найти производную неявной функции , заданной уравнением x²+y²+2x-6y+2=0.

Решение: Обозначив левую часть данного уравнения через , найдем частные производные , и, подставив их в формулу (4), получим =

Пример 11. Найти производную функции .

Решение. Преобразовав данное уравнение к виду =0, согласно формуле (4), получим

Самостоятельная работа

1. Найти производные неявных функций:

1.1. ;	1.4. ;
1.2. ;	1.5.
1.3. ;	1.6. .

8. Частные производные высших порядков

Функцию нескольких аргументов = ( ) можно диф­ференцировать по каждому аргументу. Полученные частные производные , . . . , (первого порядка) обычно зависят от тех же аргументов и каждую из них также можно дифферен­цировать по каждому аргументу.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:

= = _хx ; = = _ху

= = _yx ; = = _yy.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Они обо­значаются:

= = ; = = ;

;

Аналогично определяются и обозначаются частные производ­ные четвертого, пятого и других высших порядков. Частные производные высших порядков, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны, если они непрерывны. Например,

;

Согласно этому положению, функция двух переменных имеет три различных частных производных второго порядка

, ;

четыре различных частных производных третьего порядка:

, , , ;

и вообще n + 1 различных частных производных -го порядка.

Частные производные высших порядков находятся путем пос­ледовательного нахождения одной производной вслед за другой по правилам дифференцирования функции одной переменной (гл. 11).

Пример 12 . Найти частные производные второго порядка следующей функции:

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка:

; ; ; ; .

Пример 13 .Проверить, что для функций: 1) z=cos(ax-by).

Решение. Дифференцируя по х, найдем = - а sin (ax-by); дифференцируя по у, найдем аb cos (ax-b).

Дифференцируем в другом порядке: сначала найдем производную от z по у,

= b sin (ax-by), затем производную от по х, = аb cos (ax-b) .

Сопоставляя полученные результаты, заключаем, что для данной функции .

Пример 14. Проверить, что для функций .

Решение. Последовательно дифференцируя, находим , затем :

= ; = ;

; = ;

Следовательно, и для этой функции .

Пример 15 . Проверить, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению = 0.

Решение. Найдем частные производные второго порядка, содержащиеся в данном уравнении:

Подставляя их в данное уравнение, получим тождество: 0=0.