Решение типового варианта
1. Найти
область определения D
и область значения Е функции
Решение. Данная
функция определена в тех точках плоскости
,
в которых
,
или
.
Точки плоскости, в которых
,
образуют границу области D.
Уравнение
задает параболу (рис.6). Поскольку парабола
не принадлежит области D,
то она изображена штриховой линией.
Точки, для которых
,
расположены выше параболы. Область D
является открытой (на рис.6 она заштрихована)
и ее можно задать с помощью системы
неравенств:
.
Так как выражение под знаком логарифма может принимать любые положительные значения, то область значения функции
.
2. Для функции
найти все частные производны первого
порядка:
,
.
3. Для функции
найти требуемые частные и смешанные
производные:
Решение: Вначале найдем частную производную первого порядка:
.
Продифференцировав их еще раз, получим:
,
,
,
4. Проверить, что
функция z=
удовлетворяет уравнению
.
Находим: , .
,
.
Тогда
.
5. Найти вторые
частные производные функции
.
Убедиться в том, что
.
Решение: Находим частные производные первого порядка:
,
.
,
.
Отсюда: .
6. Найти про изводные неявно заданной функции:
а)
и
;
б)
.
-
а)
б)
а) Перенесем все в правую часть
.
,
,
.
Отсюда:
,
.
б)
,
.
Отсюда:
.
7. Вычислить значение
производной сложной функции
,
где
,
,
при
1.
На основании формулы
имеем
При
получаем, что x=1, y=-2,
.
8. Найти градиент
функции
в точке А
и вычислить его модуль.
,
,
.
.
9. Для функции z=
в точке А (1,1) вычислить градиент и
производную в направлении вектора
.
Находим частные производные первого порядка
,
,
.
Находим направляющие косинусы
,
.
По формуле
получим
.
10. Найти полный
дифференциал функции
.
Находим частные производные данной функции:
.
Согласно формуле
,
имеем
.
11. С помощью полного
дифференциала найти приближенное
значение функции
при х=1,03, у=0,97.
Выбираем
,
.
Находим значение
частных производных в точке
:
.
Находим значение функции z в точке .
.
По формуле
находим:
.
12. Найти уравнение
касательной плоскости и нормали к
поверхности S:
в
точке М
(-1,0,1).
Находим частные производные:
,
.
Подставляя в полученные выражения координаты точки М (-1,0,1), вычисляем, согласно формуле
,
координаты вектора n, перпендикулярного к поверхности S в данной точке:
,
,
С=-1.
Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение
или
,
а уравнение нормали на основании формулы
запишем в виде
.
Исследовать на экстремум функцию .
Находим первые частные производные данной функции:
,
.
Приравниваем их
к нулю, получаем систему уравнений
Откуда
,
,
,
.
Таким образом, получили две стационарные
точки: М
(0,0)
и М
(1.1).
Находим:
,
,
.
Тогда
.
В точке М
(0,0)
величина
,
т.е. в этой точке экстремума нет. В точке
М
(1.1)
величина
и
А=6>0; следовательно, в этой точке
данная функция достигает локального
минимума:
.