4. Площадь поверхности

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение

области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения

Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют площадью поверхности

Теорема 3. Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Вычислим площадь куска Так как то где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то