Лекция 4. Двойные и тройные интегралы, их определения, свойства и вычисление путем сведения к повторным интегралам. Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел

Сначала сделаем небольшое замечание об областях интегрируемости. В дальнейшем будут рассматриваться интегралы вида

двойной интеграл,

тройной интеграл,

где подынтегральная функция, область интегрирования. Мы всегда будем предполагать, что замкнутая ограниченная область (компакт) с непрерывной либо с кусочно непрерывной границей При этом будем считать, что границу можно разбить на конечное число кусков таких, что каждый из них можно описать одним из уравнений

(в случае )

(в случае ),

п ричем все участвующие здесь функции являются непрерывными на соответствующих множествах (заметим, что в случае множества являются компактами в ). Для указанного типа областей можно определить меру В случае плоской области площадь области ( квадрируемая область), в случае трехмерной области объём тела ( кубируемая область). Отрезок максимальной длины , соединяющий две произвольные точки границы , называется диаметром области (обозначение: ).

1. Двойной интеграл, его свойства и вычисление

Пусть даны – замкнутая ограниченная область (компакт) и функция определенная в этой области. Произведем разбиение этой области на частичные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых. Обозначим через диаметр разбиения т.е. число Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму (где площадь области ).

Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют двойным интегралом от функции по области и обозначают

При этом функция называется интегрируемой по области

Отметим без доказательства следующие свойства:

1) Любая функция, непрерывная на компакте , интегрируема на этом компакте;

2) Если функция ограничена на компакте и имеет на нем разрывы разве что на конечном числе непрерывных кривых, то она интгрирума в

3) Двойной интеграл от произвольной ограниченной функци по ограничен-

ной кусочно непрерывной кривой равен нулю.

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим цилиндрическое тело с нижним основанием , верхним основанием - поверхностью и с образующей боковой поверхности, параллельной оси Произведение есть объём цилиндра высоты и площадью основания , а интегральная сумма – суть объём ступенчатого тела, построенного по разбиению . Ясно, что обём тела приближенно равен объёму этого ступенчатого тела, т.е. Это равенство будет тем точнее, чем мельче разбиение , и при оно становится точным, т.е.

Здесь слева стоит двойной интеграл , поэтому т.е. двойной интеграл равен объёму цилиндрического тела

Двойные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам одномерных интегралов. Сформулируем их, предполагая, что замкнутая ограниченная квадрируемая область в

1⁰) (линейность) Если функции интегрируемы в , то и любая их линейная комбинация также интегрируема в , причем имеет место равенство

2⁰) (аддитивность) Если область разбита на две непересекающиеся подобласти и с помощью непрерывной кривой и если функция интегрируема в , то она интегрируема и в каждой из областей и (и наоборот). При этом имеет место равенство

3⁰) (монотонность) Если функции интегрируемы в и имеет место неравенство то

4⁰) Если функция интегрируема в и имеют место неравенства

то

где площадь области

5⁰) (теорема о среднем) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то существует точка такая, что

Геометрически это означает, что если то объём цилиндрического тела с верхним основанием и с нижним основанием равен объёму некоторогоого параллелепипеда с тем же основанием и высотой

При вычислении двойных интегралов используются повторные интегралы, которые имеют следующий смысл:

Теорема 1 (Фубини). Если прямоугольник и если функция кусочно непрерывна в то

_{Теорема 2} (вычисление двойного интеграла в криволинейной области). Если имеет вид

где функции непрерывны на отрезке и если функция непрерывна в то

Доказательство. Обозначим , и рассмотрим функцию

Эта функция кусочно непрерывна в , поэтому применима теорема Фубини:

Так как

то Теорема доказана.

Замечание 1. В случае области типа

и непрерывности функции и функций имеет место равенство

Заметим, что области которые участвуют в формулах (1) и (2), являются правильными областями. Более точно: область называется правильной в направлении оси если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область – неправильная, то её разбивают на правильные подобласти с помощью конечного числа непрерывных кривых и применяют к соответствующему интегралу теорему об аддитивности интеграла.

Замечание 2. Если область является правильной как в направлении оси так и в направлении оси то имеет место равенство

(в предположении, что все участвующие здесь функции непрерывны в соответствующих областях). Таким образом, в случае области описанного типа можно изменять порядок интегрирования. Этим часто пользуются, желая упростить вычисление двойного интеграла.

Пример 1(Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Изменить порядок интег-рирования

Решение. Сначала нарисуем область , по которой берется соответствующий двойной интеграл. Она находится между двумя параболами и Изменяя порядок интегрирования, найдём , что Поясним, как получен этот результат. Спроектируем область на ось получим отрезок Значит, пределы внешнего интеграла – суть числа и Теперь зафиксируем произвольно и проведем через точку луч в направлении оси Он пересечет нижнюю границу области в точке с ординатой (это будет нижняя граница внутреннего интеграла), а верхнюю границу области в точке с ординатой (это будет верхняя граница внутреннего интеграла).

Пример 2 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Вычислить интеграл

Решение.

Немного позже будет использоваться формула

вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда область при отображении переходит в прямоугольник или в какую-нибудь другую простую область.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Здесь область находится в первой четверти между двумя окружностями и двумя прямыми После преобразования

она переходит в область

Согласно формуле (4) имеем