Нелинейные преобразования сигналов

Электрические (радиотехнические) цепи делятся на линейные и нелинейные. Линейная электрическая цепь состоит из линейных элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности).

Для линейного резистора выполняется закон Ома, то есть ток пропорционален приложенному напряжению (i ~ u, вольтамперная характеристика (ВАХ) i(u) - прямая линия). Для линейного конденсатора заряд пропорционален приложенному напряжению (q ~ u, q(u) - прямая линия). Для линейной индуктивности магнитный поток пропорционален току (Ф ~ i, (i) - прямая линия).

Для нелинейных элементов зависимости i(u), q(u), (i) не являются прямыми. Электронные компоненты радиотехнических схем (диоды. транзисторы) всегда нелинейны.

Если в цепи есть нелинейные элементы, то и цепь нелинейна.

Влияние нелинейности цепи на спектр сигнала.

рис. 4.1

Если цепь нелинейна, то при подаче на нее синусоидального напряжения ток в цепи не будет синусоидальным (рис. 4.1), то есть поданный сигнал искажается. Искажения сигнала, обусловленные нелинейностью цепи, называются нелинейными искажениями.

Поскольку ток — периодическая функция времени с периодом T=1/f, его можно представить в виде ряда Фурье:

где =2f (1)

Таким образом, нелинейность цепи приводит к появлению в спектре сигнала спектральных составляющих с частотами kf (гармоник сигнала). Теоретически спектр тока бесконечно широк, на практике, учитывая, что амплитуды I_mk убывают с ростом номера гармоники k, ширину спектра можно ограничить величиной k_max, достаточной для описания i(t) с требуемой точностью. Рассмотрим этот процесс подробнее.

В отсутствие сигнала к цепи в общем случае может быть приложено постоянное напряжение U₀, при этом в цепи будет постоянный ток I₀. При подаче сигнала к постоянным составляющим напряжения и тока добавляются переменные.

В общем случае нелинейная ВАХ i(u) может быть аппроксимирована полиномом степени n: i(u)= I₀+a₁u+ a₂u²+ . . . + a_nuⁿ (2),

где u = U – U₀ – переменная составляющая напряжения. Выражение (2) представляет собой разложение зависимости i(u) в ряд Тейлора. Количество членов ряда (2), необходимых для описания ВАХ с достаточной точностью, зависит от амплитуды переменной составляющей напряжения. Если амплитуда переменной составляющей мала по сравнению с U₀ , для описания нелинейной ВАХ достаточно выражение (2) представить в виде полинома второй степени.

i(u)= I₀+a₁u+ a₂u² (3)

Для простейшего сигнала u(t)=U_mcos(t), подставив u(t) в (3), получаем: i(t)= I₀+a₁U_mcos(t)+ a₂U_m²cos²(t). Учитывая, что Cos²=0.5(1+cos2), получим

i(t)= I₀+a₁U_mcos(t)+ 0.5a₂U_m²(1+cos(2t)) = (I₀+ 0.5a₂U_m²)+a₁U_mcos(t)+

+0.5a₂U_m²cos(2t).

Вывод. Наличие нелинейности (3) приводит к изменению постоянной составляющей тока ("выпрямление") и появлению второй гармоники сигнала 2.

Аналогично можно показать, что в общем случае нелинейной ВАХ (2) в спектре тока появятся гармоники k, где k= 2 . . n.

На практике сигнал u(t) несинусоидален, он может быть представлен в виде суммы большого количества гармонических составляющих с разными частотами. Рассмотрим простейший случай сложного сигнала.

u(t)= U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t)

Для нелинейной ВАХ (3) получаем:

i(t)= I₀+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ a₂(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))²=

= I₀+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ a₂(U_m1²cos²(₁t)+ U_m2²cos²(₂t)+2 U_m1U_m2cos(₁t)cos(₂t)).

Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

Cos²=0.5(1+cos2), CosCos=0.5(Cos(+)+Cos( - )).

Получим:

i(t)= (I₀+ 0.5a₂(U_m1²+U_m2²))+a₁(U_m1cos(₁t)+ U_m2cos(₂t))+ 0.5a₂(U_m1²cos(2₁t)+ U_m2²cos(2₂t))+ +a₂ U_m1U_m2(cos(₁+₂)t+cos(₁ - ₂)t). (4)

Видим, что в этом случае кроме гармоник сигнала 2_i в спектре тока присутствуют комбинационные частоты ₁₂. Амплитуда комбинационных колебаний пропорциональна произведению амплитуд составляющих исходного сигнала. Можно показать, что для полинома степени n в спектре тока будем иметь набор частот, выражающихся общей формулой

k₁i₂, где k=0 . . n, i=0 . . n, k+in.