Глава 2. Уравнения, неравенства, их системы (5 часов)
Занятие 1. Деление многочленов.
Занятие 2. Уравнение с одним неизвестным.
Занятие 3. Основные методы решения уравнений.
Занятие 4. Системы уравнений.
Занятие 5. Неравенства.
Глава 3. Замечательные теоремы и факты геометрии (8 часов).
Занятие 1. Теорема Пифагора.
Занятие 2. Архимед.
Занятие 3. Теорема Птолемея.
Занятие 4. Теорема Ньютона.
Занятие 5. Теорема Штейнера – Лемуса.
Занятие 6. Теорема Морнея.
Занятие 7. Теорема Виктора Тебо.
Занятие 8. Решение задач.
Глава 4. Логическое строение геометрии (8 часов).
Занятие 1. Аристотель и математика.
Занятие 2. Игрушечная плоскость.
Занятие 3. Конечные неевклидовы плоскости.
Занятие 4. Еще о евклидовой геометрии – аксиоматика Гильберта.
Занятие 5. Иные аксиоматические обоснования евклидовой геометрии.
Занятие 6. Неевклидова геометрия: немного истории.
Занятие 7. Неевклидовы геометрии: сферическая геометрия, геометрия Лобачевского и Римана.
Занятие 8. Решение задач.
Глава 2. Занятие 2. Уравнения с одним неизвестным.
Равенство вида
А(х)=В(х),
где А(х)
и В(х)
– выражения, зависящие от х, называют
уравнением
с неизвестным х.
Если выражения А(х)
и В(х)
рациональны (т.е. получаются из х и чисел
с помощью операций сложения, умножения
и деления), то уравнение
А(х)=В(х)
называют рациональным.
Примерами рациональных уравнений могут
служить
,
,
и так далее.
Число α называют корнем уравнения А(х)=В(х), если при замене х этим числом получается верное числовое равенство, то есть если выполняется равенство А(α)=В(α).
Решить уравнение,
значит найти все его корни или доказать,
что оно не имеет корней. Если корнями
уравнения являются числа
,
то ответ записывается либо в виде {
},
либо в виде
.
В случае отсутствия корней пишут:
«Уравнение не имеет корней».
Пример 1. Корнями уравнения (х – 4)(х+3)(х – π)=0 являются числа 4, -3, π – при подстановке вместо х одного из этих чисел один из множителей х – 4, х+3, х – π обращается в нуль, а остальные в какие-то числа. Поэтому произведение равно нулю. Иных корней это уравнение не имеет: если подставить вместо х число, отличное от 4, -3, π, то все множители станут отличными от нуля числами, а их произведение будет тоже отлично от нуля.
Пример 2.
Уравнение
не
имеет корней. В самом деле, при любом
значении х выражение
положительно и поэтому отлично от нуля.
Пример 3.
Уравнение
не имеет ни действительных, ни комплексных
корней – при любом значении х разность
х – х обращается в нуль, и выражение
не имеет числового значения.
Пример 4.
Уравнение
имеет лишь два корня: 2 и -3. считают, что
корень 2 имеет вторую кратность, а корень
-3 – четвертую кратность.
Пример 5.
Для уравнения
все числа являются корнями - при любом
значении х выполняется равенство
.
Решением этого уравнения является
совокупность IR
всех действительных чисел. Это уравнение
имеет бесконечно много корней.
Прежде чем решать уравнение А(х)=В(х) полезно установить, какие значения может принимать неизвестное х. для этого надо найти, при каких значениях х имеют числовое значения А(х) и В(х). Совокупность таких значений называют областью допустимых значений х для данного уравнения. Пишут кратко ОДЗ.
Пример 6. Найдем ОДЗ для уравнения
(1).
Решение: левая
часть уравнения тождественно равна
поэтому она имеет значение лишь при х,
отличных от чисел 0, 1, -10, 2, -1. Значит, ОДЗ
получается выбрасыванием из числовой
прямой указанных чисел. Пишут:
IR \ {о; 1; -10; 2; -1}.
Заметим, что если
заменить четырехэтажную дробь обычной,
получаем уравнение
(2).
Его ОДЗ имеет вид
IR
\ {о; 1; -10} и поэтому отлична от ОДЗ уравнения
(1). Дело в том, что равенство
=
имеет место лишь при условии, что х
отлично от чисел о; 1; -10; 2; -1.
Задание. Решите уравнение и сделайте проверку:
а)
;
б)
.
Д/З:
а)
;
б)
.
Литература.
1. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: Наука, 1976.
2. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965.
3. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1977.
4. Коровкин П.Л. Неравенства. – М.: Наука, 1974.
5. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. – М.: Наука, 1983.